Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza${}^2$, Carlos Hernández Garciadiego${}^1$, Emma Lam Osnaya${}^2$ ${}^1$ Instituto de Matemáticas, UNAM; ${}^2$ Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 6

Solución:

Como las derivadas parciales de la función existen en todo el plano, entonces los valores extremos se pueden alcanzar en

• el interior de la región, en los puntos estacionarios o
• los puntos frontera de la región.

La región es

• Puntos estacionarios: La función es $$f(x,y)=\text{sen}x+\text{sen}y+\text{sen}(x+y)$$ Calculamos sus derivadas parciales $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}=\cos x+\cos (x+y)\text{ y }{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}=\cos y+\cos (x+y)$$ y las igualamos a cero $$\begin{array}{rcl}\cos x+\cos (x+y)& =& 0\\ \cos y+\cos (x+y)& =& 0\end{array}$$ De donde, $$\begin{array}{rcl}\cos x+\cos (x+y)& =& \cos y+\cos (x+y)\\ \cos x& =& \cos y\\ x& =& y\end{array}$$ ya que $-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0$ y $-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq 0$ y la función coseno es inyectiva en $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] .$

  Al sustituir $y$ por $x$ en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos $\cos x+\cos \left( 2x\right) =0.$ Es decir, $$\begin{array}{rcl}\cos x+\cos \left(2x\right)& =& 0\\ \cos x+{\cos }^{2}x-\text{sen}{}^{2}x& =& 0\\ \cos x+2{\cos }^{2}x-1& =& 0\end{array}$$ Resolvemos esta ecuación de 2o grado en $\cos x$ $$\cos x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm 3}{4}$$ O sea, $$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ o }\cos x=-1.$$ Como $-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0,$ entonces sólo hay una solución a la primera ecuación y es $x=-\dfrac{\pi }{3}.$

  Así $x=-\dfrac{\pi }{3}=y.$

  Recordemos que las derivadas parciales de primer orden son $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}=\cos x+\cos (x+y)\text{ y }{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}=\cos y+\cos (x+y)$$ Calculamos las derivadas parciales de segundo orden $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}& =& -\text{sen}x-\text{sen}(x+y)\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}& =& -\text{sen}y-\text{sen}(x+y)\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}& =& -\text{sen}(x+y)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}\end{array}$$ de donde

  • $\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -\dfrac{\pi }{3},-\dfrac{ \pi }{3}\right) =- \text{sen}\ \left( -\dfrac{\pi }{3}\right) - \text{sen}\ \left( -\dfrac{2\pi }{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \sqrt{3}>0$
  • El determinante hessiano es $$\left|H(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\right|=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\right)-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}>0.$$

  Así la función $f\left( x,y\right) = \text{sen}\ x+ \text{sen}\ y+ \text{sen}\ \left( x+y\right) $ alcanza un mínimo relativo en $A\left( - \dfrac{\pi }{3},-\dfrac{\pi }{3}\right) $ y su valor es $$f(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{3}.$$

  

• Los puntos frontera son los que están en los lados del cuadrado.

  Las ecuaciones de los lados son $$\{\begin{array}{lcc}x=0& & \text{con }-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le y\le 0\\ & & \\ x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & \text{con }-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le y\le 0\\ & & \\ y=0& & \text{con }-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le x\le 0\\ & & \\ y=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & \text{con }-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le x\le 0.\end{array}$$ Evaluamos la función $f\left( x,y\right) = \text{sen}\ x+ \text{sen}\ y+ \text{sen}\ \left( x+y\right) $ en los puntos de cada lado del cuadrado.

  • Si $x=0,$ entonces $$f(0,y)=2\text{sen}y$$ con $-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq 0.$ Los valores extremos de $f\left( 0,y\right) $ se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $: $-\dfrac{ \pi }{2}$ y $0$ que corresponden a $B\left( 0,-\dfrac{\pi }{2}\right)$ y $C\left( 0,0\right)$ Ahí los valores de $f\left( 0,y\right) =2 \text{sen}\ y $ son $$\begin{array}{rcl}f(0,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& -2\\ f(0,0)& =& 0;\end{array}$$

    (ii) Los puntos interiores del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $ donde la derivada se anula.

    Calculamos la derivada, $${\displaystyle \frac{df}{dy}}(0,y)=2\cos y$$ y la igualamos a cero, para encontrar el valor de $y$ $$2\cos y=0,$$ es decir, $y=-\dfrac{\pi }{2}.$ Este punto ya se consideró en (i)

  • Si $x=-\dfrac{\pi }{2},$ entonces $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},y)& =& \text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\text{sen}y+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+y)\\ & =& \text{sen}y-\cos y-1\end{array}$$ con $-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq 0.$ Los valores extremos de $f\left( -\dfrac{ \pi }{2},y\right) $ se pueden alcanzar en

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $:$-\dfrac{ \pi }{2}$ y $0$, que corresponden a $D\left( -\dfrac{\pi }{2},-\dfrac{\pi }{2}\right)$ y $E\left( -\dfrac{\pi }{2},0\right)$ Ahí los valores de $f\left( -\dfrac{\pi }{2} ,y\right) =$ $ \text{sen}\ y-\cos y-1$ son $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& -2\\ f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)& =& -2;\end{array}$$

    (ii) Los puntos interiores del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $ donde la derivada se anula.

    Calculamos la derivada, $${\displaystyle \frac{df}{dy}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},y)=\cos y+\text{sen}y$$ y la igualamos a cero, para encontrar el valor de $x$ $$\begin{array}{rcl}\cos y+\text{sen}y& =& 0\\ \cos y& =& -\text{sen}y,\\ 1& =& -\tan y\end{array}$$ es decir, $y=-\dfrac{\pi }{4}.$

    Calculamos la segunda derivada $${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{y}^2}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},y)=-\text{sen}y+\cos y$$ y la evaluamos en $y=-\dfrac{\pi }{4}$ $${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{y}^2}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sqrt{2}>0$$ Hay un mínimo relativo en $\left( -\dfrac{\pi }{2},-\dfrac{\pi }{4} \right) $ y el valor de la función es $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})& =& \text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\\ & =& -1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ & =& -\sqrt{2}-1\\ & \approx & -2.41\end{array}$$

  • Si $y=0,$ entonces $$f(x,0)=2\text{sen}x$$ con $-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0.$ Los valores extremos de $f\left( x,0\right) $ se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $: $-\dfrac{ \pi }{2}$ y $0.$ Ahí los valores de $f\left( x,0\right) =2 \text{sen}\ x $ son $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)& =& 2\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-2\\ f(0,0)& =& 0;\end{array}$$ Estos puntos ya los habíamos considerado.

    Puesto que la función seno es estrictamente creciente en el intervalo $ \left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] ,$ entonces no tiene máximos ni mínimos en el interior del intervalo.

  • Si $y=-\dfrac{\pi }{2},$ entonces $$\begin{array}{rcl}f(x,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& \text{sen}x+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\text{sen}(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & =& \text{sen}x-\cos x-1\end{array}$$ con $-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0.$ Los valores extremos de $f\left( x,- \dfrac{\pi }{2}\right) $ se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $:$-\dfrac{ \pi }{2}$ y $0.$ Ahí los valores de $f\left( x,-\dfrac{\pi }{2}\right) = \text{sen}\ x-\cos x-1$ son $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& -2\\ f(0,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& -2;\end{array}$$ Estos puntos también ya habían sido considerados.

    (ii) Los puntos interiores del intervalo $\left[ -\dfrac{\pi }{2},0\right] $ donde la derivada se anula.

    Calculamos la derivada, $${\displaystyle \frac{df}{dx}}(x,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\cos x+\text{sen}x$$ y la igualamos a cero, para encontrar el valor de $x$ $$\begin{array}{rcl}\cos x+\text{sen}x& =& 0\\ \cos x& =& -\text{sen}x,\\ 1& =& -\tan x\end{array}$$ es decir, $x=-\dfrac{\pi }{4}.$

    Calculamos la segunda derivada $${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{x}^2}}(x,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\text{sen}x+\cos x$$ y la evaluamos en $x=-\dfrac{\pi }{4}$ $${\displaystyle \frac{d^{2}f}{d{x}^2}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sqrt{2}>0$$ Hay un mínimo relativo en $F\left( -\dfrac{\pi }{4},-\dfrac{\pi }{2} \right) $ y el valor de la función es $$\begin{array}{rcl}f(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& =& \text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\text{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ & =& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ & =& -\sqrt{2}-1\\ & \approx & -2.41\end{array}$$