Máximos y mínimos

Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM


Ejemplo 6

Encontrar los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) = \text{sen}\ x+ \text{sen}\ y+ \text{sen}\ \left( x+y\right) \end{equation*} restringida a la región compacta limitada por $-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0$ y $-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq 0.$

Solución:

Como las derivadas parciales de la función existen en todo el plano, entonces los valores extremos se pueden alcanzar en

La región es

Los valores de la función obtenidos en los puntos que son candidatos a ser máximo o mínimo absolutos son: \begin{equation*} \begin{array}{lll} f\left( -\dfrac{\pi }{3},-\dfrac{\pi }{3}\right) =-\dfrac{3}{2}\sqrt{3} \approx -2.6 & & f\left( -\dfrac{\pi }{2},0\right) =-2 \\ & & \\ f\left( 0,-\dfrac{\pi }{2}\right) =-2 & & f\left( -\dfrac{\pi }{2},-\dfrac{ \pi }{2}\right) =-2 \\ & & \\ f\left( 0,0\right) =0 & & f\left( -\dfrac{\pi }{2},-\dfrac{\pi }{4}\right) =-\sqrt{2}-1\approx -2.41 \\ & & \\ f\left( -\dfrac{\pi }{4},-\dfrac{\pi }{2}\right) =-\sqrt{2}-1\approx -2.41 & & \end{array} \end{equation*} Entonces en el punto $A\left( -\dfrac{\pi }{3},-\dfrac{\pi }{3}\right) $ la función $f(x,y)$ alcanza el valor mínimo absoluto: $-\dfrac{3}{2} \sqrt{3}$ y en el punto $C\left( 0,0\right) $ la función $f(x,y)$ alcanza el valor máximo absoluto: $0.$