Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 4

Solución:

La función es polinomial, las derivadas parciales existen en todo el plano, entonces los valores extremos se pueden alcanzar en

• el interior de la región, en los puntos estacionarios. o
• los puntos frontera de la región.

• Puntos estacionarios: La función es \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{3}+3xy^{2}-30x-18y. \end{equation*}

  Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y^{2}-30 \quad \quad \quad \text{ y } \quad \quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=6xy-18 \end{equation*} las igualamos a cero para determinar los puntos estacionarios \begin{eqnarray*} 3x^{2}+3y^{2}-30 & = & 0 \\ 6xy-18 & = & 0. \end{eqnarray*} O sea, \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & 10 \\ xy & = & 3. \end{eqnarray*} Observamos que si $x=0,$ no se satisface la segunda ecuación, entonces, puesto que $x\neq 0,$ despejamos $y$ de la segunda: \begin{equation*} y=\dfrac{3}{x} \end{equation*} y sustituimos este valor en la primera \begin{eqnarray*} x^{2}+\left( \dfrac{3}{x}\right) ^{2} & = & 10 \\ x^{4}+9 & = & 10x^{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} x^{4}-10x^{2}+9 & = & 0 \\ x^{2} & = & 5\pm 4 \end{eqnarray*} así \begin{equation*} x^{2}=5+4=9 \quad \quad \quad \text{ o }\quad \quad \quad x^{2}=5-4=1. \end{equation*} Si $x^{2}=9,$ entonces $x=\pm 3.$

  • Si $x=3,$ entonces \begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{3}{x} \\ y & = & 1 \end{eqnarray*} así el punto obtenido es $A\left( 3,1\right) $, que es estacionario.
  • Si $x=-3,$ entonces \begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{3}{x} \\ y & = & -1 \end{eqnarray*} de donde el punto obtenido es $\left( -3,-1\right) $, que es estacionario pero este punto no está en el triángulo.

  Si $x^{2}=1,$ entonces $x=\pm 1.$

  • Si $x=1,$ entonces \begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{3}{x} \\ y & = & 3 \end{eqnarray*} así el punto obtenido es $B\left( 1,3\right) $, que es estacionario.
  • Si $x=-1,$ entonces \begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{3}{x} \\ y & = & -3 \end{eqnarray*} de donde, tenemos el punto $\left( -1,-3\right) $ que es estacionario pero no está en el triángulo.

  Observamos que sólo los puntos $A\left( 3,1\right) $ y $B\left( 1,3\right) $ son estacionarios para la región considerada, pues $\left( -3,-1\right) $ y $\left( -1,-3\right) $ no están dentro del triángulo.

  

  Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y^{2}-30 \quad \quad \quad \text{ y } \quad \quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=6xy-18. \end{equation*} Calculamos \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & = & 6x \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} & = & 6x \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y} & = & \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y\partial x}=6y \end{eqnarray*} y \begin{equation*} \left\vert H\left( x,y\right) \right\vert =6x\left( 6x\right) -36y^{2}=36\left( x^{2}-y^{2}\right) \end{equation*} Evaluamos en los puntos estacionarios.

  • En $A\left( 3,1\right) $ tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,1\right) & = & 6\left( 3\right) >0 \\ \left\vert H\left( 3,1\right) \right\vert & = & 36\left( 3^{2}-1\right) =36\left( 8\right) >0. \end{eqnarray*} Entonces hay un mínimo relativo en $A\left( 3,1\right) $ y el valor de la función es \begin{equation*} f\left( 3,1\right) =-72. \end{equation*}
  • En $B\left( 1,3\right) $ tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 1,3\right) & = & 6\left( 1\right) >0 \\ \left\vert H\left( 1,3\right) \right\vert & = & 36\left( 1-3^{2}\right) =36\left( -8\right) < 0. \end{eqnarray*}

    Hay un punto silla en $B\left( 1,3\right) .$

• Los puntos frontera son los que están en los lados del triángulo.

  Las ecuaciones de los lados son \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcc} y=4 & & \text{con }-3\leq x\leq 4 \\ x=4 & & \text{con }-3\leq y\leq 4 \\ y=-x+1 & & \text{con }-3\leq x\leq 4. \end{array} \right. \end{equation*}

  • Si $y=4,$ entonces \begin{eqnarray*} f\left( x,4\right) & = & x^{3}+3x\left( 4\right) ^{2}-30x-18\left( 4\right) \\ & = & x^{3}+18x-72 \end{eqnarray*} con $-3\leq x\leq 4.$ Los valores extremos se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -3,4\right] :$ $-3$ y $4$ que corresponden la los puntos $C\left( -3,4\right)$ y $D\left( 4,4\right)$ Ahí los valores de $f\left( x,4\right) $ son: \begin{eqnarray*} f\left( -3,4\right) & = & -153 \\ f\left( 4,4\right) & = & 64; \end{eqnarray*}

    (ii) En los puntos interiores del intervalo $\left[ -3,4\right] $ donde la derivada \begin{equation*} \dfrac{df}{dx}\left( x,4\right) =3x^{2}+18 \end{equation*} se anula.

    Como la derivada es la suma de dos números, uno positivo y el otro no negativo, nunca se anula.

  • Si $x=4,$ entonces \begin{equation*} f\left( 4,y\right) =12y^{2}-18y-56 \end{equation*} con $-3\leq y\leq 4.$ Los valores extremos se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -3,4\right] $: $-3$ y $4$, que corresponden a los puntos $E\left( 4,-3\right)$ y $D\left( 4,4\right)$, que ya habíamos considerado. Ahí los valores de $f\left( 4,y\right) $ son: \begin{eqnarray*} f\left( 4,-3\right) & = & 106 \\ f\left( 4,4\right) & = & 64; \end{eqnarray*}

    (ii) Los puntos interiores del intervalo $\left[ -3,4\right] $ donde la derivada \begin{equation*} \dfrac{df}{dy}\left( 4,y\right) =24y-18 \end{equation*} se anula. De donde, \begin{eqnarray*} 24y-18 & = & 0 \\ y & = & \dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}. \end{eqnarray*} Calculamos la segunda derivada \begin{equation*} \dfrac{d^{2}f}{dy^{2}}\left( 4,y\right) =24>0. \end{equation*} Así en $y=\dfrac{3}{4}$, que corresponde a $F\left( 4,\dfrac{3}{4}\right)$ alcanza un mínimo relativo y el valor de la función es \begin{equation*} f\left( 4,\dfrac{3}{4}\right) =-\dfrac{251}{4}=-62.75. \end{equation*}

  • Si $y=-x+1,$ entonces \begin{equation*} f\left( x,-x+1\right) =4x^{3}-6x^{2}-9x-18 \end{equation*} con $-3\leq x\leq 4.$ Los valores extremos se pueden alcanzar en:

    (i) Los extremos del intervalo $\left[ -3,4\right] $: $-3$ y $4.$ Ahí los valores de $f\left( x,-x+1\right) $ son \begin{eqnarray*} f\left( -3,4\right) & = & -153 \\ \text{ }f\left( 4,-3\right) \text{ } & = & 106; \end{eqnarray*} Estos puntos ya los habíamos considerado.

    (ii) Los puntos interiores del intervalo $\left[ -3,4\right] $ donde la derivada \begin{equation*} \dfrac{df}{dx}\left( x,-x+1\right) =12x^{2}-12x-9 \end{equation*} se anula.

    Tenemos \begin{eqnarray*} 12x^{2}-12x-9 & = & 0 \\ 4x^{2}-4x-3 & = & 0 \\ \left( 2x+1\right) \left( 2x-3\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=-\dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad x=\dfrac{3}{2}. \end{equation*} Calculamos la segunda derivada \begin{equation*} \dfrac{d^{2}f}{dx^{2}}\left( x,-x+1\right) =24x-12. \end{equation*} Si $x=-\dfrac{1}{2},$ entonces \begin{equation*} 24\left( -\dfrac{1}{2}\right) -12=-24 < 0 \end{equation*}

    de donde en $x=-\dfrac{1}{2}$ hay un máximo relativo de $f\left( x,-x+1\right) .$

    Si $x=-\dfrac{1}{2},$ entonces $y=-x+1$ es \begin{equation*} y=-\left( -\dfrac{1}{2}\right) +1=\dfrac{3}{2}. \end{equation*} Entonces $f\left( x,y\right) =x^{3}+3xy^{2}-30x-18y$ tiene un máximo relativo en $G\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right) $ y el valor de la función es \begin{equation*} f\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right) =-\dfrac{31}{2}=-15.5. \end{equation*}

    Si $x=\dfrac{3}{2},$ entonces \begin{equation*} \dfrac{d^{2}f}{dx^{2}}\left( \dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}+1\right) =24>0, \end{equation*} de donde en $x=\dfrac{3}{2}$ hay un mínimo relativo de $f\left( x,-x+1\right) .$

    Si $x=\dfrac{3}{2},$ entonces $y=-x+1$ es \begin{equation*} y=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}. \end{equation*} Entonces $f\left( x,y\right) =x^{3}+3xy^{2}-30x-18y$ tiene un máximo relativo en $H\left(\dfrac{3}{2} ,-\dfrac{1}{2}\right) $ y el valor de la función es \begin{equation*} f\left( \dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\right) =-\dfrac{63}{2}=-31.5. \end{equation*}