Sea \(S=\left\{ \left. \overline{h}\in \mathbb{R}^{n}\right\vert ~\left\Vert \overline{h}\right\Vert =1\right\} .\) El conjunto \(S\) es cerrado y acotado y \(Q\) es continua en \(\mathbb{R}^{n}\), entonces \(Q\) restringida a \(S\) alcanza su valor mínimo \(\beta .\)

Si \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}\) no es el vector cero, tenemos \(\dfrac{ \overline{h}}{\left\Vert \overline{h}\right\Vert }\in S\) y entonces \begin{equation*} Q\left( \overline{h}\right) =Q\left( \dfrac{\overline{h}}{\left\Vert \overline{h}\right\Vert }\left\Vert \overline{h}\right\Vert \right) =\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}Q\left( \dfrac{\overline{h}}{ \left\Vert \overline{h}\right\Vert }\right) \geq \left\Vert \overline{h} \right\Vert ^{2}\beta . \end{equation*} Si \(\overline{h}=\overline{0},\) entonces \(Q\left( \overline{h}\right) =0=\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}\beta .\) Por tanto, la desigualdad vale para todo \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}.\)

La desigualdad (\ref{2alemma}) se tiene porque \(Q\left( \overline{h}\right) =A\overline{h}\cdot \overline{h}\) si \(Q\) es la función cuadrática asociada, a \(A.\)

Como \(A\) es indefinida, existen vectores \(\overline{h}_{1}\) y \(\overline{h} _{2}\) en \(\mathbb{R}^{n}\) tales que \begin{equation*} Q\left( \overline{h}_{1}\right) =A\overline{h}_{1}\cdot \overline{h}_{1}>0 \end{equation*} y \begin{equation*} Q\left( \overline{h}_{2}\right) =A\overline{h}_{2}\cdot \overline{h}_{2} < 0. \end{equation*} Estos vectores son distintos del vector cero, pues \(Q\left( \overline{0} \right) =0.\) Los vectores \(\overline{u}_{1}=\dfrac{1}{\left\Vert \overline{h} _{1}\right\Vert }\overline{h}_{1}\) y \(\overline{u}_{2}=\dfrac{1}{\left\Vert \overline{h}_{2}\right\Vert }\overline{h}_{2}\) son unitarios y \begin{equation*} Q\left( \overline{u}_{1}\right) =\frac{1}{\left\Vert \overline{h} _{1}\right\Vert ^{2}}Q\left( \overline{h}_{1}\right) > 0 \end{equation*} y \begin{equation*} Q\left( \overline{u}_{2}\right) =\frac{1}{\left\Vert \overline{h} _{2}\right\Vert ^{2}}Q\left( \overline{h}_{2}\right) < 0. \end{equation*}

Por el lema (6), sólo falta probar que \(\beta >0.\)

Tenemos \(\beta =Q\left( \overline{h}_{0}\right)\) para algún \(\left\Vert \overline{h}_{0}\right\Vert =1\).

Como \(A\) es positiva definida, entonces \(\beta =Q\left( \overline{h} _{0}\right) >0\), ya que \(Q\left( \overline{h}\right) >0\) para todo \( \overline{h}\neq \overline{0}\).

Supongamos \(\overline{x}=\left( x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\), \(\overline{y} =\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\) y \begin{equation*} A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \end{equation*} Si \(A\overline{x}\cdot \overline{y}=0,\) la desigualdad es obvia, ya que \(A \overline{x}\cdot \overline{x}\geq 0\) y \(A\overline{y}\cdot \overline{y}\geq 0\) por ser \(A\) positiva semidefinida.

Supongamos que \(A\overline{x}\cdot \overline{y}\neq 0.\)

Para \(\lambda \in \mathbb{R}\), tenemos \(A(\overline{x}-\lambda \overline{y} )\cdot \left( \overline{x}-\lambda \overline{y}\right) \geq 0\) por ser \(A\) positiva semidefinida. Por el Teorema (4) y dado que el producto escalar conmuta, tenemos \begin{equation*} A\overline{y}\cdot \overline{x}=\overline{y}\cdot A\overline{x}=A\overline{x} \cdot \overline{y}. \end{equation*} Así, \begin{eqnarray} 0 &\leq &A\left( \overline{x}-\lambda \overline{y}\right) \cdot \left( \overline{x}-\lambda \overline{y}\right) =\left( A\overline{x}-\lambda A \overline{y}\right) \cdot \left( \overline{x}-\lambda \overline{y}\right) \notag \\ &=&A\overline{x}\cdot \overline{x}-\lambda A\overline{y}\cdot \overline{x} -\lambda A\overline{x}\cdot \overline{y}+\lambda ^{2}A\overline{y}\cdot \overline{y} \label{CuentasCauchy}\tag{1.8}\\ &=&A\overline{x}\cdot \overline{x}-2\lambda A\overline{x}\cdot \overline{y} +\lambda ^{2}A\overline{y}\cdot \overline{y}. \notag \end{eqnarray} Si \(A\overline{y}\cdot \overline{y}\neq 0\), hagamos \(\lambda =\dfrac{A \overline{x}\cdot \overline{y}}{A\overline{y}\cdot \overline{y}}.\) Entonces \begin{eqnarray*} 0 &\leq &A\overline{x}\cdot \overline{x}-2\frac{A\overline{x}\cdot \overline{ y}}{A\overline{y}\cdot \overline{y}}A\overline{x}\cdot \overline{y}+\left( \frac{A\overline{x}\cdot \overline{y}}{A\overline{y}\cdot \overline{y}} \right) ^{2}A\overline{y}\cdot \overline{y} \\ &=&A\overline{x}\cdot \overline{x}-\frac{\left( A\overline{x}\cdot \overline{ y}\right) ^{2}}{A\overline{y}\cdot \overline{y}}. \end{eqnarray*} Al despejar, obtenemos la desigualdad buscada \begin{equation*} \left( A\overline{x}\cdot \overline{y} \right) ^{2}\leq \left( A \overline{x}\cdot \overline{x}\right) \left( A\overline{y}\cdot \overline{y} \right) . \end{equation*} Por otra parte, no puede suceder que \(A\overline{y}\cdot \overline{y}=0,\) por que si así fuera, entonces (\ref{CuentasCauchy}) se reduce a \begin{equation*} 0\leq A\overline{x}\cdot \overline{x}-2\lambda A\overline{x}\cdot \overline{ y } \end{equation*} para cualquier \(\lambda \in \mathbb{R}\) y para \(\lambda =\dfrac{1}{2}\dfrac{ A \overline{x}\cdot \overline{x}+1}{A\overline{x}\cdot \overline{y}}\) llegamos al absurdo \begin{equation*} 0\leq A\overline{x}\cdot \overline{x}-2\dfrac{1}{2}\dfrac{A\overline{x}\cdot \overline{x}+1}{A\overline{x}\cdot \overline{y}}A\overline{x}\cdot \overline{ y}=-1. \end{equation*}

Si \(\left\Vert A\overline{h}\right\Vert =0,\) la desigualdad es obvia porque \( A\overline{h}\cdot \overline{h}\geq 0\) por ser \(A\) positiva semidefinida y \( \left\Vert A\right\Vert \geq 0.\)

Supongamos \(\left\Vert A\overline{h}\right\Vert \neq 0.\) En la desigualdad generalizada de Cauchy tomemos \(\overline{x}=\overline{h}\) y \(\overline{y}=A \overline{h}.\) Entonces \begin{equation} \left( A\overline{h}\cdot A\overline{h}\right) ^{2}\leq \left( A\overline{h} \cdot \overline{h}\right) \left( A\left( A\overline{h}\right) \cdot A \overline{h}\right) . \label{1adesCor}\tag{1.9} \end{equation} Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz en \(\mathbb{R}^{n}\) y dado que \( \left\Vert A\left( A\overline{h}\right) \right\Vert \leq \left\Vert A\right\Vert \left\Vert A\overline{h}\right\Vert\) tenemos \begin{eqnarray*} A\left( A\overline{h}\right) \cdot A\overline{h} &\leq &\left\Vert A\left( A \overline{h}\right) \right\Vert \left\Vert A\overline{h}\right\Vert \\ &\leq &\left\Vert A\right\Vert \left\Vert A\overline{h}\right\Vert \left\Vert A\overline{h}\right\Vert \\ &=&\left\Vert A\right\Vert \left\Vert A\overline{h}\right\Vert ^{2}. \end{eqnarray*} Por otra parte, \(\left\Vert A\overline{h}\right\Vert ^{2}=A\overline{h}\cdot A\overline{h}.\) Al hacer las sustituciones en (\ref{1adesCor}), obtenemos \begin{equation*} \left\Vert A\overline{h}\right\Vert ^{4}\leq \left( A\overline{h}\cdot \overline{h}\right) \left\Vert A\right\Vert \left\Vert A\overline{h} \right\Vert ^{2}. \end{equation*} Así, \begin{equation*} \left\Vert A\overline{h}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert A\right\Vert A \overline{h}\cdot \overline{h}. \end{equation*}

Recordamos que \(S=\left\{ \left. \overline{h}\in \mathbb{R}^{n}\right\vert ~\left\Vert \overline{h}\right\Vert =1\right\}\) y \(Q\left( \overline{h} \right) =A\overline{h}\cdot \overline{h}\).

Como \(\beta +\dfrac{1}{n}>\beta\) para cada entero \(n\geq 1\) y \(\beta =\min\limits_{\left\Vert \overline{h}\right\Vert =1}A\overline{h}\cdot \overline{h},\) existe \(\overline{h}_{n},\) con \(\left\Vert \overline{h} _{n}\right\Vert =1\), tal que \begin{equation*} A\overline{h}_{n}\cdot \overline{h}_{n} \leq \beta +\dfrac{1}{n}. \end{equation*} Probaremos primero que \begin{equation*} \left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert \longrightarrow 0 \quad \quad \quad \text{ cuando }n\longrightarrow \infty . \end{equation*} En vista de que \(1=\left\Vert \overline{h}_{n}\right\Vert ^{2}=I\overline{h} _{n}\cdot \overline{h}_{n},\) donde \(I\) es la matriz identidad de tamaño \(n\times n\), tenemos \begin{eqnarray} A\overline{h}_{n}\cdot \overline{h}_{n} &<&\beta \left( I\overline{h} _{n}\cdot \overline{h}_{n}\right) +\dfrac{1}{n} \notag \\ \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\cdot \overline{h}_{n} &<&\dfrac{1}{ n }. \label{TerceraTheorem} \tag{1.10} \end{eqnarray} La matriz \(A-\beta I\) es positiva semidefinida, pues es simétrica y \begin{eqnarray*} \left( A-\beta I\right) \overline{h}\cdot \overline{h} &=&A\overline{h}\cdot \overline{h}-\beta \left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} \\ A\overline{h}\cdot \overline{h}-\beta \left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} &\geq &0. \end{eqnarray*} para todo \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n},\) ya que por lema (6) \(A \overline{h}\cdot \overline{h}\geq \beta \left\Vert \overline{h}\right\Vert^{2}.\)

Del corolario anterior y la desigualdad (\ref{TerceraTheorem}), se sigue que \begin{eqnarray*} \left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert ^{2} &\leq &\left\Vert \left( A-\beta I\right) \right\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\cdot \overline{h}_{n} \\ &\leq &\frac{1}{n}\left\Vert \left( A-\beta I\right) \right\Vert . \end{eqnarray*} Entonces \begin{equation*} 0\leq \left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\left\Vert \left( A-\beta I\right) \right\Vert ^{\frac{1}{ 2 }}. \end{equation*} Por el Teorema del sandwich, obtenemos \begin{equation} \left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert \longrightarrow 0 \quad \text{cuando }n\longrightarrow \infty . \label{tiende0}\tag{1.11} \end{equation} Supongamos que \(\beta\) no es un valor característico de \(A\). Entonces \( \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\neq \overline{0}\) para todo \(n\geq 1\) y por el Corolario (2), la matriz \(A-\beta I\) es invertible.

Para cada \(n\geq 1\) tenemos que \begin{equation*} \overline{x}_{n}=\dfrac{1}{\left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h} _{n}\right\Vert }\left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n} \end{equation*} es un vector unitario. Como \begin{equation*} \left\Vert \left( A-\beta I\right) ^{-1}\overline{x}_{n}\right\Vert \leq \left\Vert \left( A-\beta I\right) ^{-1}\right\Vert \end{equation*} entonces \begin{eqnarray*} \left\Vert \left( A-\beta I\right) ^{-1}\right\Vert &\geq &\left\Vert \left( A-\beta I\right) ^{-1}\overline{x}_{n}\right\Vert \\ &=&\left\Vert \frac{1}{\left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h} _{n}\right\Vert }\left( A-\beta I\right) ^{-1}\left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert \\ &=&\frac{\left\Vert \overline{h}_{n}\right\Vert }{\left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert } \\ &=&\frac{1}{\left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert }. \end{eqnarray*} Así, \begin{equation*} \left\Vert \left( A-\beta I\right) ^{-1}\right\Vert \left\Vert \left( A-\beta I\right) \overline{h}_{n}\right\Vert \geq 1\text{ para todo }n\geq 1. \end{equation*} Al hacer tender \(n\) a \(\infty ,\) llegamos al absurdo \(0\geq 1,\) debido a ( \ref{tiende0}). Por tanto, \(\beta\) es un valor característico de \(A.\)

Supongamos que \(A\) es positiva definida y \(\lambda\) es un valor característico de \(A.\) Hay un vector \(\overline{x}\neq \overline{0}\) en \(\mathbb{R}^{n}\) tal que \(A \overline{x}=\lambda \overline{x}\) y como \(A\) es positiva definida, entonces \begin{equation*} \lambda \left\Vert \overline{x}\right\Vert ^{2}=\lambda \overline{x}\cdot \overline{x}=A\overline{x}\cdot \overline{x}>0. \end{equation*} De donde, \(\lambda >0.\)

Recíprocamente, supongamos que todo valor característico de \(A\) es positivo.

De acuerdo con el teorema anterior \begin{equation*} \beta =\min\limits_{\left\Vert \overline{h}\right\Vert =1}A\overline{h}\cdot \overline{h} \end{equation*} es un valor característico de \(A\) y por nuestra hipótesis \(\beta >0.\)

Por el lema (6), \begin{equation*} A\overline{h}\cdot \overline{h}\geq \beta \left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}\text{ para todo }\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} En particular, \(A\overline{h}\cdot \overline{h}>0\) para todo \(\overline{h} \neq \overline{0}.\) Por tanto, \(A\) es positiva definida.

La matriz \(A\) es invertible por tener determinante distinto de cero, de hecho positivo. Como \(\left( A^{t}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{t}\) y \(A\) es simétrica, entonces \begin{equation*} \left( A^{-1}\right) ^{t}=A^{-1}. \end{equation*} Así, \(A^{-1}\) es simétrica.

Sea \(\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}\) distinto de \(\overline{0}.\) Existe \( \overline{x}\in \mathbb{R}^{n},\) con \(\overline{x}\neq \overline{0},\) tal que \(A\overline{x}=\overline{y},\) ya que \(A\) es invertible. Debido a esto y a que \(\left( A\overline{x}\right) ^{t}=\overline{x}^{t}A^{t}\) y \(A^{t}=A,\) tenemos \begin{eqnarray*} \overline{y}^{t}A^{-1}\overline{y} &=&\left( A\overline{x}\right) ^{t}\left( A^{-1}\right) ^{t}A\overline{x} \\ &=&\overline{x}^{t}A^{t}\left( A^{t}\right) ^{-1}A\overline{x} \\ &=&\overline{x}^{t}A\overline{x}>0. \end{eqnarray*} Por consiguiente, \(A^{-1}\) es positiva definida.

\(A\) es negativa definida \(~\Longleftrightarrow -A\) es positiva definida.

Un número real \(\lambda\) es valor característico de \( -A\Longleftrightarrow -\lambda\) es un valor característico de \(A.\)

Por estas dos equivalencias y el Teorema (14), tenemos:

Supongamos que \(A\) es negativa definida.

Si \(\lambda\) es un valor característico de \(A\), entonces \(-\lambda\) es un valor característico de \(-A\) y por tanto, \(-\lambda >0\) por ser \( -A\) positiva definida. Así, \(\lambda <0.\)

Recíprocamente, supongamos que todo valor característico de \(A\) es negativo. Entonces todo valor característico de \(-A\) es positivo y \(-A\) es positiva definida, o sea \(A\) es negativa definida.

Supongamos que \(A\) no es positiva definida ni negativa definida.

Por el Teorema (14) y el corolario anterior, existen valores característicos \(\lambda _{1}\) y \(\lambda _{2}\) de \(A\) tales que \(\lambda _{1}\leq 0\) y \(\lambda _{2}\geq 0.\) Hay dos vectores unitarios \(\overline{u}_{1},\overline{u}_{2}\) en \(\mathbb{R} ^{n}\) que satisfacen \[ A\overline{u}_{1}=\lambda _{1}\overline{u}_{1}\text{ y }A\overline{u}% _{2}=\lambda _{2}\overline{u}_{2} \] Como \(A\) es invertible, por hipótesis, entonces \(\left\vert A\right\vert \neq 0.\) Y como \(\left\vert A\right\vert\) es el producto de sus valores característicos, entonces todo valor característico de \(A\) es distinto de \(0.\) Así, \(\lambda _{1} < 0, \lambda _{2}>0\) y \[ A\overline{u}_{1}\cdot \overline{u}_{1}=\lambda _{1}\overline{u}_{1}\cdot \overline{u}_{1}=\lambda _{1} < 0 \] y \[ A\overline{u}_{2}\cdot \overline{u}_{2}=\lambda _{2}\overline{u}_{2}\cdot \overline{u}_{2}=\lambda _{2}>0\text{~} \] Es decir, \(A\) es indefinida.

Recíprocamente, si \(A\) es indefinida entonces no es positiva definida ni negativa definida, pues toma un valor positivo y otro negativo en vectores distintos de cero.

Si \(\overline{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\), hagamos \begin{equation*} A\overline{x}=\left( \begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right)\qquad \text{ y } \qquad -A^{-1}\overline{b}=\overline{c}=\left( \begin{array}{c} c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array} \right) . \end{equation*} Definamos la \(\left( n+1\right) \times \left( n+1\right)\) matriz \begin{equation*} P=\left( \begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & c_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & & 1 & c_{n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right) . \end{equation*} Entonces

1. \(\overline{b}^{t}\left( -A^{-1}\overline{b}\right) =b_{1}c_{1}+\cdots +b_{n}c_{n}.\)

2. Por la multiplicación de matrices y la definición de \(\overline{c} ,\) tenemos \begin{equation*} A\overline{c}=\left( \begin{array}{c} a_{11}c_{1}+\cdots +a_{1n}c_{n} \\ \vdots \\ a_{n1}c_{1}+\cdots +a_{nn}c_{n} \end{array} \right) \qquad \text{ y}\qquad \text{ }A\overline{c}=-AA^{-1}\overline{b}=- \overline{b}=\left( \begin{array}{c} -b_{1} \\ \vdots \\ -b_{n} \end{array} \right) , \end{equation*} de donde, \begin{equation} a_{k1}c_{1}+\cdots +a_{kn}c_{n}=-b_{k} \quad \text{ para cada }1\leq k\leq n. \label{ac=b}\tag{1.12} \end{equation} 3. \begin{equation*} P^{t}=\left( \begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & & 1 & 0 \\ c_{1} & \cdots & c_{n} & 1 \end{array} \right) . \end{equation*} Al desarrollar \(\left\vert P\right\vert\) respecto al último renglón, tenemos \begin{equation*} \left\vert P\right\vert =\left\vert \left( \begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & c_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & & 1 & c_{n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right) \right\vert =1 \end{equation*} y por tanto, \begin{equation*} \left\vert P^{t}\right\vert =1. \end{equation*} Por otra parte, \begin{eqnarray*} BP &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & b_{n} \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & c_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & & 1 & c_{n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & a_{11}c_{1}+\cdots +a_{1n}c_{n}+b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & a_{n1}c_{1}+\cdots +a_{nn}c_{n}+b_{n} \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & b_{1}c_{1}+\cdots +b_{n}c_{n}+\alpha \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & -b_{1}+b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & -b_{n}+b_{n} \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & b_{1}c_{1}+\cdots +b_{n}c_{n}+\alpha \end{array} \right) \text{ (ver \ref{ac=b})} \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}+\alpha \end{array} \right) \text{ (ver el inciso 1)} \end{eqnarray*} En resumen, \begin{equation*} BP=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}+\alpha \end{array} \right) . \end{equation*} De donde, \begin{eqnarray*} P^{t}BP &=&\left( \begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & & 1 & 0 \\ c_{1} & \cdots & c_{n} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ b_{1} & \cdots & b_{n} & -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}+\alpha \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{n1}+b_{1} & \cdots & c_{1}a_{1n}+\cdots +c_{n}a_{nn}+b_{n} & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ -b_{1}+b_{1} & \cdots & -b_{n}+b_{n} & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1} \overline{b} \end{array} \right) \text{ (ver \ref{ac=b})} \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \end{array} \right) . \end{eqnarray*} En resumen, \begin{equation*} P^{t}BP=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \end{array} \right) . \end{equation*} Al desarrollar \(\left\vert P^{t}BP\right\vert\) respecto al último renglón, obtenemos \begin{equation*} \left\vert P^{t}BP\right\vert =\left( \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1} \overline{b}\right) \left\vert A\right\vert . \end{equation*} Como \(\left\vert P^{t}BP\right\vert =\left\vert P^{t}\right\vert \left\vert B\right\vert \left\vert P\right\vert\) y \(\left\vert P\right\vert =\left\vert P^{t}\right\vert =1\) entonces \begin{equation*} \left\vert B\right\vert =\left( \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \right) \left\vert A\right\vert . \end{equation*}

Como \(A\) es positiva definida, entonces es simétrica e invertible. Por el lema anterior, se tiene \begin{equation*} \left\vert B\right\vert =\left( \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \right) \left\vert A\right\vert . \end{equation*} Probaremos que las siguientes afirmaciones son equivalentes

(i) \(\left\vert B\right\vert >0.\)

(ii) \(\alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}>0.\)

(iii) \(P^{t}BP\) es positiva definida, donde \(P\) es como en el lema anterior.

(iv) \(B\) es positiva definida.

(i) implica (ii). \(\left\vert B\right\vert =\left( \alpha -\overline{b} ^{t}A^{-1}\overline{b}\right) \left\vert A\right\vert >0\) implica \(\alpha - \overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}\) \(>0\), pues \(\left\vert A\right\vert >0\), por ser \(A\) positiva definida.

(ii) implica (iii). Supongamos que \(\alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{ b }>0\) y sea \(\left( z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\) distinto de \(\overline{0}.\)

Vimos en el lema anterior que \begin{equation*} P^{t}BP=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \end{array} \right) . \end{equation*} De donde, \begin{eqnarray*} &&\left( \begin{array}{ccc} z_{1} & \cdots & z_{n+1} \end{array} \right) P^{t}BP\left( \begin{array}{c} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n+1} \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} z_{1} & \cdots & z_{n+1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & & a_{nn} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n+1} \end{array} \right) \\ && \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} z_{1} & \cdots & z_{n} \end{array} \right) A\left( \begin{array}{c} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \end{array} \right) +z_{n+1}^{2}\left( \alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}\right) >0. \end{eqnarray*} Donde la desigualdad se debe a que ambos sumandos son mayores o iguales que cero y al menos uno de ellos es positivo, puesto que \(\left( z_{1},\ldots ,z_{n}\right) \neq \overline{0}\), o bien, \(z_{n+1}\neq 0\) y \(A\) es positiva definida y \(\alpha -\overline{b}^{t}A^{-1}\overline{b}>0\) por hipótesis.

Por tanto, \(P^{t}BP\) es positiva definida.

(iii) implica (iv). Supongamos que \(P^{t}BP\) es positiva definida y sea \( \overline{w}=\left( w_{1},\ldots ,w_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\) distinto del vector \(\overline{0}.\)

Como \(P\) es invertible existe \(\overline{z}=\left( z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right) \neq \overline{0}\) tal que \(P\overline{z}=\overline{w}.\)

Notamos que \(\left( \overline{z}^{t}P^{t}\right) =\left( P\overline{z} \right) ^{t}=\overline{w}^{t}\), por propiedades generales de la traspuesta. Entonces \begin{eqnarray*} \overline{w}^{t}B\overline{w} &=&\left( \overline{z}^{t}P^{t}\right) B\left( P\overline{z}\right) \\ && \\ &=&\overline{z}^{t}\left( P^{t}BP\right) \overline{z}>0 \end{eqnarray*} por ser \(P^{t}BP\) positiva definida y \(\overline{z}\neq 0.\) De donde, \(B\) es positiva definida.

iv) implica i) Es el Corolario (15).

Supongamos que \(A\) es positiva definida. Entonces \(\left\vert A_{n}\right\vert =\left\vert A\right\vert >0.\) Sean \(1\leq k \leq n\) y \(\left( x_{1},\ldots ,x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k}\) un vector no cero, entonces \( \left( x_{1},\ldots ,x_{k},\overset{n-k}{\overbrace{0,\ldots ,0}}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) es un vector distinto de \(\overline{0}.\) De donde, \begin{eqnarray*} && \\ \left( \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{k} \end{array} \right) A_{k}\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \end{array} \right) &=&\left( \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{k} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \end{array} \right) \\ &=&\left( \begin{array}{cccccc} x_{1} & \cdots & x_{k} & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) > 0. \end{eqnarray*} O sea, \(A_{k}\) es positiva definida y por tanto, \(\left\vert A_{k}\right\vert >0.\)

Inversamente, supongamos que \(\left\vert A_{k}\right\vert >0\) para cada \( 1\leq k\leq n.\)

Como \(\left\vert A_{1}\right\vert =a_{11}>0\) entonces la matriz \(\left( a_{11}\right)\) es positiva definida. Por el teorema (20) y dado que \(\left\vert A_{2}\right\vert >0\), por hipótesis, la matriz \begin{equation*} A_{2}=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right) \end{equation*} es positiva definida. Aplicando sucesivamente este argumento para \(k=3,...,n\) concluimos que \(A_{n}=A\) es positiva definida.

\(A\) es negativa definida \(\iff -A\) es positiva definida. Por el teorema anterior, \(-A\) es positiva definida \(\iff \left\vert -A_{k}\right\vert =\left( -1\right) ^{k}\left\vert A_{k}\right\vert >0.\)

Por ser \(U\) abierto existe \(r>0\) tal que \(B_{r}\left( \overline{x} _{0}\right) \subset U\). Fijemos \(\overline{h}\), con \(\left\Vert \overline{h} \right\Vert < r\), definimos \begin{equation*} K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) =\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si }\ \overline{h}=\overline{0} \\ \dfrac{1}{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}\left[ f\left( \overline{ x }_{0}+\overline{h}\right) -f\left( \overline{x}_{0}\right) -\sum_{i=1}^{n}h_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \overline{x}_{0}\right) \right] & \text{si }\ \overline{h}\neq \overline{0}. \end{array} \ \ \right. \end{equation*} Entonces \begin{equation} f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h}\right) =f\left( \overline{x} _{0}\right) +\sum_{i=1}^{n}h_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \left( \overline{x}_{0}\right) +K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h} \right) \left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} \label{Defprueba}\tag{1.14} \end{equation} para todo \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}.\)

Fijemos \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}\) y para cada \(\left\Vert \overline{x} \right\Vert < r,\) definimos \begin{eqnarray} F\left( \overline{x}\right) &=&f\left( \overline{x}_{0}+\overline{x}\right) -f\left( \overline{x}_{0}\right) -\sum_{i=1}^{n}x_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \overline{x}_{0}\right) -K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) \left\Vert \overline{x}\right\Vert ^{2} \label{DefF}\tag{1.15} \\ &=&f\left( \overline{x}_{0}+\overline{x}\right) -f\left( \overline{x} _{0}\right) -\sum_{i=1}^{n}x_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \left( \overline{x}_{0}\right) -K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h} \right) \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}. \notag \end{eqnarray} Entonces \(F\) es una función de clase \(C^{1}\) en la bola abierta \( B_{r}\left( \overline{0}\right)\) y por la igualdad (\ref{Defprueba}) satisface que \begin{equation*} F\left( \overline{0}\right) =0=F\left( \overline{h}\right) . \end{equation*} Por el Teorema del valor medio para funciones reales de varias variables \begin{equation} F\left( \overline{h}\right) -F\left( \overline{0}\right) =\sum_{j=1}^{n}h_{j}\dfrac{\partial F}{\partial x_{j}}\left( t \overline{h}\right) =0 \label{VM}\tag{1.16} \end{equation} para algún real \(0 \leq t \leq 1\) que depende de \(\overline{h}.\)

Sea \(1\leq j\leq n.\) Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\) tiene derivadas parciales \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}} \left( 1\leq i\leq n\right)\) continuas en \(B_{r}\left( \overline{x} _{0}\right)\), por ser \(f\) de clase \(C^{2}\) en \(B_{r}\left( \overline{x} _{0}\right) ,\) entonces cada \(\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\) es derivable en \(B_{r}\left( \overline{x}_{0}\right)\), por lo que para cada \( 1\leq j\leq n\), la función \begin{eqnarray*} R_{j}\left( \overline{x}\right) &=&\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}+\overline{x}\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \left( \overline{x}_{0}\right) -\nabla \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\right) \left( \overline{x}_{0}\right) \cdot \overline{x} \\ &=&\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}+\overline{x} \right) -\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}\right) -\sum_{i=1}^{n}x_{i}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}\right) \end{eqnarray*} con \(\overline{x}=\left( x_{1},\ldots ,x_{n}\right) \in B_{r}\left( \overline{0}\right)\) es tal que \begin{equation} \lim\limits_{\overline{x}\rightarrow \overline{0}}\frac{R_{j}\left( \overline{x}\right) }{\left\Vert \overline{x}\right\Vert }\longrightarrow 0 \label{cociente1}\tag{1.17} \end{equation} y es claro que \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}+\overline{x} \right) -\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}\right) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}\right) +R_{j}\left( \overline{x}\right) . \end{equation*} Por la definición de \(F\) (\ref{DefF}) y la igualdad anterior \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial F}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}\right) &=&\dfrac{ \partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}+\overline{x}\right) - \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}\left( \overline{x}_{0}\right) -2K_{ \overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) x_{j} \\ &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left( \overline{x}_{0}\right) -2K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{ h }\right) x_{j}+R_{j}\left( \overline{x}\right) . \end{eqnarray*} Por la igualdad (\ref{VM}): \(F\left( \overline{h}\right) -F\left( \overline{ 0 }\right) =\sum_{j=1}^{n}h_{j}\dfrac{\partial F}{\partial x_{j}} \left( t\overline{h}\right) =0,\) tenemos \begin{eqnarray*} 0 &=&\sum_{j=1}^{n}h_{j}\dfrac{\partial F}{\partial x_{j}}\left( t \overline{h}\right) =\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}h_{j}th_{i} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left( \overline{x} _{0}\right) -2K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) \sum_{j=1}^{n}th_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{n}h_{j}R_{j}\left( t \overline{h}\right) \\ &=&2t\left( \frac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) -K_{ \overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) \left\Vert \overline{h} \right\Vert ^{2}\right) +\sum_{j=1}^{n}h_{j}R_{j}\left( t\overline{h} \right) . \end{eqnarray*} De donde, \begin{equation*} K_{\overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) \left\Vert \overline{h} \right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) + \frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n}h_{j}R_{j}\left( t\overline{h}\right) . \end{equation*} Al sustituir esto en (\ref{Defprueba}): \(f\left( \overline{x}_{0}+\overline{ h}\right) =f\left( \overline{x}_{0}\right) +\sum_{i=1}^{n}h_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( \overline{x}_{0}\right) +K_{ \overline{x}_{0}}\left( \overline{h}\right) \left\Vert \overline{h} \right\Vert ^{2},\) obtenemos \begin{equation*} f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h}\right) =f\left( \overline{x} _{0}\right) +\sum_{i=1}^{n}h_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \left( \overline{x}_{0}\right) +\frac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0}, \overline{h}\right) +\frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n}h_{j}R_{j}\left( t \overline{h}\right) \end{equation*} para cada \(\overline{h}\in \mathbb{R}^{n}.\) Hacemos \begin{equation*} \left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert = \frac{1}{2t}\left\vert \sum_{j=1}^{n}h_{j}R_{j}\left( t\overline{h} \right) \right\vert \end{equation*} y tenemos \begin{equation*} \dfrac{\left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}\leq \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n}\frac{\left\vert h_{j}\right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert }\frac{\left\vert R_{j}\left( t\overline{h}\right) \right\vert }{\left\Vert t\overline{h}\right\Vert }. \end{equation*} Entonces \begin{equation*} \lim\limits_{\overline{h}\rightarrow \overline{0}}\dfrac{\left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}=0, \end{equation*} ya que \(\dfrac{\left\vert h_{j}\right\vert }{\left\Vert \overline{h} \right\Vert }\leq 1\) y \(\lim\limits_{\overline{h}\rightarrow \overline{0}} \dfrac{\left\vert R_{j}\left( t\overline{h}\right) \right\vert }{\left\Vert t \overline{h}\right\Vert }=0\) para \(j=1,\ldots ,n\) por (\ref{cociente1}).

Como \(f:U\subset \mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}\) es de clase \( C^{2}\) y \(\overline{x}_{0}\in U\) es un punto estacionario, entonces por el teorema 24 existe \(r > 0\) tal que \begin{equation} f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h}\right) =f\left( \overline{x} _{0}\right) +\frac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) +R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) , \label{crit2a}\tag{1.18} \end{equation} si \(\left\Vert \overline{h}\right\Vert \leq r\), donde \(Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right)\) es la función cuadrática asociada a \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right) ,\) y \begin{equation*} \dfrac{\left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}\longrightarrow 0 \quad \quad \quad\text{ cuando }\overline{h}\longrightarrow \overline{0}. \end{equation*} 1. Supongamos que \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right)\) es positiva definida, entonces por el Teorema (10), existe \(\beta >0\) tal que \begin{equation} \dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) \geq \dfrac{\beta }{ 2}\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}\quad \quad \quad\text{ para todo } \overline{h}\in \mathbb{R}^{n}. \label{positivo}\tag{1.19} \end{equation} Como \(\dfrac{\left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}\longrightarrow 0,\) entonces existe \(0 < \delta < r\) tal que si \(0 < \left\Vert \overline{h}\right\Vert < \delta\), tenemos que \begin{equation*} \left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert < \dfrac{\beta }{2}\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} \end{equation*} de donde, \begin{equation} -\dfrac{\beta }{2}\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} < R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) < \dfrac{\beta }{2}\left\Vert \overline{ h }\right\Vert ^{2}. \label{positivo1}\tag{1.20} \end{equation} Por (\ref{positivo}) y (\ref{positivo1}) tenemos \begin{equation*} 0=\dfrac{\beta }{2}\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}-\dfrac{\beta }{2} \left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2} < \dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x} _{0}, \overline{h}\right) +R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \end{equation*} y por (\ref{crit2a}) \begin{equation*} 0 < \dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) +R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) =f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h} \right) -f\left( \overline{x}_{0}\right) . \end{equation*} Por tanto, si \begin{equation*} 0 < \left\Vert \overline{h}\right\Vert < \delta \end{equation*} entonces \begin{equation*} f\left( \overline{x}_{0}\right) < f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h} \right) , \end{equation*} es decir, \(\overline{x}_{0}\) es un mínimo relativo estricto.

(2) Si \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right)\) es negativa definida, entonces \( -H\left( f\left( \overline{x}_{0}\right) \right) =H\left( -f\left( \overline{ x}_{0}\right) \right)\) es positiva definida, de donde \(\overline{x}_{0}\) es un mínimo relativo estricto de \(-f,\) entonces \(\overline{x}_{0}\) es un máximo relativo estricto de \(f.\)

(3) Por último, supongamos que la matriz hessiana \(H\left( f,\overline{x} _{0}\right)\) de \(f\) en \(\overline{x}_{0}\) es indefinida. Por el Lema (9), existen vectores unitarios \(\overline{u}_{1}\) y \( \overline{u}_{2}\) en \(\mathbb{R}^{2}\) tales que \begin{equation*} Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) =H\left( f,\overline{x} _{0}\right) \overline{u}_{1}\cdot \overline{u}_{1}>0 \end{equation*} y \begin{equation*} Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) =H\left( f,\overline{x} _{0}\right) \overline{u}_{2}\cdot \overline{u}_{2} \leq 0. \end{equation*} Debemos probar que en cada bola abierta \(B_{\varepsilon }\left( \overline{x} _{0}\right)\) con centro en \(\overline{x}_{0}\) hay un punto donde \(f\) vale más que \(f\left( \overline{x}_{0}\right)\) y otro donde vale menos

Por el teorema de Taylor, \begin{equation*} f\left( \overline{x}_{0}+\overline{h}\right) =f\left( \overline{x} _{0}\right) +\frac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right) +R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \end{equation*} donde \(Q\left( \overline{x}_{0},\overline{h}\right)\) es la función cuadrática asociada a \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right) ,\) y \begin{equation} \dfrac{\left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert }{\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}}\longrightarrow 0 \quad \quad \quad \text{ cuando }\overline{h}\longrightarrow \overline{0}. \label{limcoc} \end{equation} Así, existe \(0 < \delta < \varepsilon\) tal que \(0 < \left\Vert \overline{h} \right\Vert < \delta\) implica \begin{equation*} \left\vert R_{2}\left( \overline{h},\overline{x}_{0}\right) \right\vert < \dfrac{M}{2}\left\Vert \overline{h}\right\Vert ^{2}, \tag{1.21} \end{equation*} con \(M=\min \left( Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) ,-Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) \right) .\)

Si \(\overline{h_{i}}=\delta \overline{u}_{i},\) para \(i=1,2,\) entonces \begin{equation*} 0 < \left\Vert \overline{h_{i}}\right\Vert < \delta , \end{equation*} de donde \begin{equation*} -\dfrac{M}{2}\delta ^{2} < R_{2}\left( \overline{h}_{i},\overline{x} _{0}\right) < \dfrac{M}{2}\delta ^{2} \quad \quad \text{ para }i=1,2. \end{equation*} En particular, \begin{equation*} -\dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) \delta ^{2} < R_{2}\left( \delta \overline{u}_{1},\overline{x}_{0}\right) < \dfrac{1}{ 2 }Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) \delta ^{2} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) \delta ^{2} < R_{2}\left( \delta \overline{u}_{2},\overline{x}_{0}\right) < -\dfrac{1}{ 2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) \delta ^{2}. \end{equation*} Por tanto, \begin{eqnarray*} f\left( \overline{x}_{0}+\delta \overline{u}_{1}\right) -f\left( \overline{x} _{0}\right) &=&\dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\delta \overline{u} _{1}\right) +R_{2}\left( \delta \overline{u}_{1},\overline{x}_{0}\right) \\ &>&\dfrac{\delta ^{2}}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) - \dfrac{\delta ^{2}}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{1}\right) =0 \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} f\left( \overline{x}_{0}+\delta \overline{u}_{2}\right) -f\left( \overline{x} _{0}\right) &=&\dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\delta \overline{u} _{2}\right) +R_{2}\left( \delta \overline{u}_{2},\overline{x}_{0}\right) \\ &<&\dfrac{\delta ^{2}}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) - \dfrac{1}{2}Q\left( \overline{x}_{0},\overline{u}_{2}\right) \delta ^{2}=0. \end{eqnarray*} O sea, \begin{equation*} f\left( \overline{x}_{0}+\delta \overline{u}_{1}\right) >f\left( \overline{x} _{0}\right) \qquad \text{ y}\qquad f\left( \overline{x}_{0}+\delta \overline{ u}_{2}\right) \leq f\left( \overline{x}_{0}\right) . \end{equation*} y \(\overline{x}_{0}+\delta \overline{u}_{1},\overline{x}_{0}+\delta \overline{u}_{2}\in B_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{0}\right)\)

(4) La función \(f\left( x_{1},\ldots ,x_{n}\right) =x_{1}^{4}+\cdots +x_{n}^{4}\) tiene un mínimo absoluto estricto en el origen y \(-f\) tiene un máximo absoluto en el origen. En tanto que la función \(f\left( x_{1},\ldots ,x_{n}\right) =x_{1}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\) tiene un punto silla en el origen. En los tres casos, el determinante hessiano de \(f\) en el origen es \(0.\)

Por el Teorema (21):

\(\left\vert H_{k}\left( f,\overline{x}_{0}\right) \right\vert >0\) para todo \( 1\leq k\leq n\) si y sólo si la matriz hessiana \(H\left( f, \overline{x} _{0}\right)\) es positiva definida.

Por el Corolario (22):

\(\left( -1\right) ^{k}\left\vert H_{k}\left( f,\overline{x}_{0}\right) \right\vert >0\) para todo \(1\leq k\leq n\) si y sólo si la matriz hessiana \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right)\) es negativa definida.

Por tanto, los afirmaciones (1) y (2) se siguen del Teorema (26).

(3) Las hipótesis de los apartados (1) y (2) de este teorema equivalen a decir que \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right)\) es positiva definida y negativa definida, respectivamente. Si (1) y (2) no son aplicables, entonces la matriz hessiana de \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right)\) no es positiva definida ni negativa definida. Como \(\left\vert H\left( f,\overline{x} _{0}\right) \right\vert \neq 0,\) entonces \(H\left( f,\overline{x}_{0}\right) \) es indefinida, por el Corolario (18), y entonces \(\overline{x} _{0}\) es un punto silla, por el Teorema (26).

(4) Ya se vio en el Teorema (26).

El teorema es consecuencia del Criterio de la 2a derivada para funciones reales de \(n\) variables, puesto que los apartados (1) y (2) son los de dicho criterio, con \(n=2.\)

Asimismo, el inciso (3) es el inciso (3) de ese criterio para \(n=2,\) ya que \( \left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert < 0\) equivale a decir que \(\left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert \neq 0\) y que no son aplicables los apartados (1) y (2).

En efecto, si \(\left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert < 0,\) entonces no son aplicables los apartados (1) y (2) y \(\left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert \neq 0.\)

Recíprocamente, si éstas dos últimas condiciones se satisfacen, entonces \(\left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert < 0\) o bien \(\left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert >0.\)

Esta segunda desigualdad implica que \(\dfrac{\partial ^{2}f }{\partial x^{2}}\left( x_{0},y_{0}\right) >0\) y entonces aplicaría el apartado (1) o el (2), lo que contradice lo supuesto. Por tanto, \( \left\vert H\left( f,\left( x_{0},y_{0}\right) \right) \right\vert < 0.\)

(4) La función \(f\left( x,y\right) =x^{4}+y^{4}\) tiene un mínimo absoluto estricto en el origen y \(-f\) tiene un máximo absoluto en el origen. En tanto que la función \(f\left( x,y\right) =x^{3}+y^{3}\) tiene un punto silla en el origen. En los tres casos, el determinante hessiano de \( f\) en el origen es \(0.\)

Los incisos (1) y (2) son los del Criterio de la 2a derivada para funciones reales de \(n\) variables, con \(n=3.\)

El apartado (3) es el apartado (3) de ese criterio para \(n=3.\)

(4) La función \(f\left( x,y,z\right) =x^{4}+y^{4}+z^{4}\) tiene un mí nimo absoluto estricto en el origen y \(-f\) tiene un máximo absoluto en el origen. En tanto que la función \(f\left( x,y,z\right) =x^{3}+y^{3}+z^{3}\) tiene un punto silla en el origen. En los tres casos, el determinante hessiano de \(f\) en el origen es \(0.\)

Sean \(f:A\subset \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}\) y \(g:B\subset \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}\) dos funciones y \(S=\left\{ \left. \left( x,y,z\right) \in B\,\right\vert ~g\left( x,y,z\right) =c\right\}\). Supongamos que \(S\subset A\) y que existe una función \(h:U\subset \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\) tal que \begin{equation} \left\{ \left. \left( x,y,h\left( x,y\right) \right) \,\right\vert \,\left( x,y\right) \in U~\right\} =S. \label{S}\tag{1} \end{equation} Si la función \(F(x,y)=\left( x,y,h\left( x,y\right) \right)\) tiene un valor extremo relativo (estricto) en \(\left( x_{0},y_{0}\right) \in U,\) entonces \(f\,|S\) tiene el mismo tipo de valor extremo en \(\left( x_{0},y_{0},h\left( x_{0},y_{0}\right) \right) .\)

Demostración:

Referencias

[1] Magnus, Jan R. y Neudecker, Heinz. Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics. Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1999. 450 pp.