Coordenadas Cilíndricas y Esféricas Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Coordenadas Esféricas

Definición:

Partimos de un sistema cartesiano \( XYZ \) con origen \( O. \) En el plano \( XY \) escogemos el origen \( O \) como polo, al semieje \( OX \) como eje polar y la orientación positiva de giro como aquella que lleva a coincidir al semieje \( OX \) con el \( OY \) mediante un giro de \( 90^{\circ }. \) Dado un punto del espacio \( P \) con coordenadas rectangulares \( \left( x,y,z\right) \) llamemos \( P^{\prime } \) a la proyección de \( P \) sobre el plano \( XY \) y escojamos

• \( \rho \geq 0 \) como la distancia al origen del punto \( P\left( x,y,z\right) . \)

• \( 0\leq \theta \leq 2\pi \) como la segunda coordenada polar principal en el plano \( XY \) del punto \( P^{\prime }\left( x,y,0\right) \) si \( P^{\prime }\left( x,y,0\right) \neq \left( 0,0,0\right) \) y \( \theta \) arbitraria, por ejemplo \( \theta =0, \) si \( P^{\prime }\left( x,y,0\right) =\left( 0,0,0\right) . \)

• \( \phi \) como el ángulo con lado inicial el eje \( Z \) y lado final el rayo que une el origen y el punto \( P\left( x,y,z\right) \) y tal que \( 0\leq \phi \leq \pi \) ; esto en el caso en que \( P\neq O \). Para el origen \( O \) escogemos \( \phi \) arbitrariamente. Se acostumbra tomar \( \phi =0. \)
  

  Los números de la tercia \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) son llamados las coordenadas esféricas del punto \( P\left( x,y,z\right) . \) Cada uno de ellos es llamado coordenada radial o radio, acimut y coordenada polar, respectivamente.

Si \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) son las coordenadas esféricas de \(P\left( x,y,z\right) \) , entonces: \begin{equation} r=\rho \ \text{sen}\ \phi , \label{rroyfi}\tag{1} \end{equation} donde \( r \) es la primera coordenada polar principal de la proyección \( P^{\prime }\left( x,y,0\right) \) de \( P \) en el plano \( XY. \)

\begin{eqnarray} x &=&\rho \cos \theta \ \text{sen}\ \phi \notag \\ y &=&\rho \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \phi \label{xyzesf} \tag{2} \\ z &=&\rho \cos \phi . \notag \end{eqnarray} y \begin{equation} x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2}. \label{sumacuadrados}\tag{3} \end{equation} Para \( \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) , \) los reales \( r \) y \( \theta \) son las coordenadas polares principales de \( P^{\prime }\left( x,y,0\right) , \) por lo que \begin{equation*} \tan \theta =\frac{y}{x},\qquad \qquad \cos \phi =\frac{z}{\rho }, \end{equation*} como la tangente tiene periodo \( \pi , \) entonces \begin{equation} \theta =\left\{ \begin{array}{ll} \arctan \dfrac{y}{x} & \text{si }x>0\text{ y }y\geq 0 \\ \pi +\arctan \dfrac{y}{x} & \text{si }x < 0 \\ 2\pi +\arctan \dfrac{y}{x} & \text{si }x>0\text{ y }y < 0 \\ \dfrac{\pi }{2} & \text{si }x=0\text{ y }y>0 \\ -\dfrac{\pi }{2} & \text{si }x=0\text{ y }y < 0 \end{array} \right. \label{tetaesf} \tag{4} \end{equation} Recordamos que para puntos de coordenadas cartesianas \( \left( 0,0,z\right) \) unas coordenadas esféricas son \( \left( \left\vert z\right\vert ,\theta ,\phi \right) \) donde \( \theta \) es arbitraria aunque se acostumbra tomarla como \( 0 \) y \( \phi \) es \( 0 \) si \( z>0, \) \( \phi \) es \( \pi \) si \( z < 0 \) y \( \phi \) es arbitraria si \( z=0 \) aunque se acostumbra tomarla como \( 0. \)

Con ayuda de las fórmulas (\ref{xyzesf}) resulta sencillo determinar el punto \( P \) que corresponde a cualquier tercia de reales \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) con \( \rho \geq 0,0\leq \theta \leq 2\pi \) y \( 0\leq \phi \leq \pi . \) Simplemente, localizamos en el sistema cartesiano \( XYZ \) el punto \( P \) con coordenadas rectangulares \( \left( \rho \cos \theta \ \text{sen}\ \phi ,\rho \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \phi ,\rho \cos \phi \right) . \)

Ejemplos

1. Encuentra las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas esféricas \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) =\left( 5,\dfrac{\pi }{6}, \dfrac{\pi }{4}\right) . \)

   Solución:

   Tenemos \begin{eqnarray*} x &=&\rho \cos \theta \ \text{sen}\ \phi =5\cos \dfrac{\pi }{6}\ \text{sen}\ \dfrac{\pi }{4}=5\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =\dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{3}{2}} \\ y &=&\rho \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \phi =5\ \text{sen}\ \dfrac{\pi }{6 }\ \text{sen}\ \dfrac{\pi }{4}=5\left( \dfrac{1}{2}\right) \left( \dfrac{1}{ \sqrt{2}}\right) =\dfrac{5}{2\sqrt{2}} \\ z &=&\rho \cos \phi =5\cos \dfrac{\pi }{4}=5\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =\dfrac{5}{\sqrt{2}}. \end{eqnarray*} Por tanto, las coordenadas rectangulares del punto son \( \left( \dfrac{5}{2} \sqrt{\dfrac{3}{2}},\dfrac{5}{2\sqrt{2}},\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right) . \)

2. Encuentra las coordenadas esféricas del punto con coordenadas cartesianas \( \left( x,y,z\right) =\left( 1,-1,2\right) . \)

   Solución:

   Tenemos \begin{eqnarray*} \rho &=&\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\ &=&\sqrt{1+\left( -1\right) ^{2}+2^{2}} \\ &=&\sqrt{6}. \end{eqnarray*} Como \( x>0 \) y \( y < 0 \), se sigue de (\ref{tetaesf}) que \begin{eqnarray*} \theta &=&2\pi +\arctan \dfrac{y}{x} \\ &=&2\pi +\arctan \dfrac{-1}{1} \\ &=&2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7}{4}\pi . \end{eqnarray*} Y de (\ref{rroyfi}), obtenemos \begin{eqnarray*} r &=&\rho \ \text{sen}\ \phi ; \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=&\rho \ \text{sen}\ \phi \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} &=&\frac{1}{\sqrt{3}}=\ \text{sen}\ \phi . \end{eqnarray*} Por lo que \begin{equation*} \phi =\text{arcsen}\frac{1}{\sqrt{3}}\approx \frac{\pi }{5}. \end{equation*} Por tanto, las coordenadas esféricas del punto son \( \left( \sqrt{6}, \dfrac{7}{4}\pi ,\text{arcsen}\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) . \)

Ejercicios

1. Encontrar las coordenadas esféricas de los puntos que tienen coordenadas rectangulares

   1. \( \left( 1,-1,0\right) . \)

   2. \( \left( -7,0,0\right) . \)

   3. \( \left( 0,2,-2\right) . \)

   4. \( \left( \dfrac{3}{\sqrt{8}},\dfrac{3}{2\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{27}}{2} \right) . \)

   5. \( (0,0,-3). \)

2. Encontrar las coordenadas rectangulares de los puntos que tienen coordenadas esféricas

   1. \( \left( 2,\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{6}\right) . \)

   2. \( \left( 0,\dfrac{3\pi }{8},\dfrac{\pi }{7}\right) . \)

   3. \( \left( 3,\dfrac{\pi }{3},\pi \right) . \)

   4. \( \left( 1,\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}\right) . \)

   5. \( \left( \pi ,\dfrac{\pi }{4},\dfrac{3\pi }{4}\right) . \)

Ecuaciones esféricas

Recordemos que se dice que una superficie \( S \) tiene por ecuación cartesiana a una ecuación del tipo \begin{equation*} F\left( x,y,z\right) =0 \end{equation*} si cada uno de sus puntos y sólo ellos tienen coordenadas rectangulares \( \left( x,y,z\right) \) que satisfacen esa ecuación, donde \( F \) es una función real.

En tanto que, se dice que una superficie \( S \) tiene por ecuación esférica a una ecuación del tipo \begin{equation*} G\left( \rho ,\theta ,\phi \right) =0 \end{equation*} si cada uno de sus puntos y sólo ellos tienen coordenadas esféricas \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) que satisfacen dicha ecuación, donde \( G \) es una función real.

Una superficie en el espacio \( XYZ \) tiene asociada una ecuación cartesiana y también una esférica.

Las ecuaciones para transformar coordenadas esféricas en coordenadas cartesianas son: \begin{equation} x=\rho \cos \theta \ \text{sen}\ \phi ,\qquad y=\rho \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \phi \qquad \text{y}\qquad z=\rho \cos \phi . \label{esfericas1}\tag{5} \end{equation} Para transformar coordenadas cartesianas en esféricas, utilizamos \begin{equation} \rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \tan \theta =\frac{y}{x},\qquad \cos \phi =\frac{z}{\rho }. \label{esfericas2}\tag{6} \end{equation}

Ejemplos

1. Esfera

2. Cono

3. Paraboloide

Ejercicios

1. Encuentra la ecuación esférica del plano con ecuación cartesiana \( z=2x+y. \)

2. Encuentra la ecuación esférica de la esfera con centro en el punto \( \left( 0,0,2\right) \) y radio \( 2 \).

3. Encuentra la ecuación esférica del cono circular \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=0. \)

4. Encuentra la ecuación esférica de la intersección de las superficies con ecuaciones cartesianas \( x^{2}+y^{2}+z=1 \) y \( z=-2. \)

5. Encuentra las ecuaciones esféricas de la intersección de las superficies con ecuaciones cartesianas \( z=x^{2}+y^{2} \) y \( z^{2}=x^{2}+y^{2}. \)

6. Encuentra las ecuaciones esféricas de la intersección de las superficies con ecuaciones cartesianas \( \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{25}+ \dfrac{z^{2}}{25}=1 \) y \( z=4. \)

7. Encuentra la ecuación cartesiana de la superficie con ecuación esférica \( \rho \ \text{sen}\ \phi =6. \)

8. Encuentra la ecuación cartesiana de la superficie con ecuación esférica \( \rho =\csc \phi \cot \phi . \)

9. Se perfora una esfera centrada en el origen de radio \( 3 \) usando un cilindro de radio \( 2, \) del modo que se indica en el siguiente corte lateral.
   

   Describir el casquete superior \( C \) eliminado usando coordenadas esféricas.

Transformación esférica

Ejemplo

Determinar las superficies \( S_{e} \) y \( S_{ca} \) definidas por la ecuación \( \rho =a \), con \( a>0 \), cuando ésta se interpreta como una ecuación esférica y cuando se le considera como una ecuación cartesiana, respectivamente.

Solución:

Los puntos del sistema \( XYZ \) cuyas coordenadas esféricas \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) satisfacen \( \rho =a, \) son los de la esfera con centro en \( O \) y radio \( a. \) O sea, esta esfera es la superficie \( S_{e} \) en el sistema \( XYZ \) que tiene ecuación esférica \( \rho =a. \)

Por otra parte, los puntos del sistema \( \rho \Theta \Phi \) cuyas coordenadas cartesianas \( \left( \rho ,\theta ,\phi \right) \) satisfacen \( \rho =a, \) son los del plano \( \rho =a \) en el sistema \( \rho \Theta \Phi \) . O sea, este plano es la superficie \( S_{ca} \) que tiene ecuación cartesiana \( \rho =a. \)

La función \( T_{e}:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) definida como \begin{equation*} T_{e}\left( \rho ,\theta ,\phi \right) =\left( \rho \cos \theta \ \text{sen}\ \phi ,\rho \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \phi ,\rho \cos \phi \right) \end{equation*} es llamada la transformación esférica. Mediante \( T_{e} \) restringida a la región \( \left[ 0,\infty \right) \times \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \) del sistema cartesiano \( \rho \Theta \Phi \) la superficie \( S_{ca} \) se transforma en \( S_{e}. \) Por ejemplo,

En general, supongamos que \( W \) es una región en el sistema \( XYZ \) y \( W_{1} \) es una colección formada por coordenadas esféricas de todos los puntos de \( W \), entonces \( W_{1} \) representa una región del sistema \( \rho \Theta \Phi \) y \begin{equation*} T_{e}\left( W_{1}\right) =W. \end{equation*} La transformación esférica es inyectiva y de clase \( C^{1} \) en la región \(\left( 0,\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \times \left( 0,\pi \right) \) del sistema \( \rho \Theta \Phi . \) Esta región es el interior de \( \left[ 0,\infty \right) \times \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] . \)