Coordenadas Cilíndricas y Esféricas Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Obtén la ecuación esférica del paraboloide \( z=x^{2}+y^{2}. \)

Solución:

Como \( x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}\ \text{sen}\ ^{2}\phi \) y \( z=\rho \cos \phi \) , entonces la ecuación \( z=x^{2}+y^{2} \) se transforma en \begin{equation*} \rho \cos \phi =\rho ^{2}\ \text{sen}\ ^{2}\phi . \end{equation*} Para todo punto distinto del origen, \( \rho \neq 0, \) de donde, \begin{equation*} \cot \phi \csc \phi =\rho \end{equation*} es la ecuación esférica del paraboloide sin el origen.

Para \( \rho =0 \) y \( \phi =\dfrac{\pi }{2} \) esta ecuación también se satisface. Como \( \left( 0,0,\dfrac{\pi }{2}\right) \) son coordenadas esféricas del origen, entonces \begin{equation*} \cot \phi \csc \phi =\rho \end{equation*} es la ecuación esférica del paraboloide.