Coordenadas Polares Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Lemniscatas

Ejemplos

1. Dibujar la gráfica de \(r^{2}=a^{2}\cos \left( 2\theta \right) \).

   Notamos que esta ecuación es del tipo \(f\left( r\right) =g\left( \theta \right) \), donde \(f\left( r\right) =r^{2}\) y \(g\left( \theta \right) =a^{2}\cos \left( 2\theta \right) \).

   Para ahorrar trabajo, utilizaremos los criterios de simetría.

   • Al cambiar \(\theta \) por \(-\theta \), obtenemos: \begin{equation*} r^{2}=a^{2}\cos \left( -2\theta \right) =a^{2}\cos \left( 2\theta \right) , \end{equation*} entonces la gráfica es simétrica con respecto al eje \(X\).

     Por el primer criterio de simetría basta considerar valores de \(\theta \) no negativos para obtener la gráfica correspondiente.

   • Al cambiar \(\theta \) por \(\pi -\theta \), obtenemos: \begin{eqnarray*} r^{2} & = & a^{2}\cos \left( 2\left( \pi -\theta \right) \right) \\ r^{2} & = & a^{2}\cos \left( 2\pi -2\theta \right) \\ r^{2} & = & a^{2}\cos \left( 2\theta \right) , \end{eqnarray*} entonces la gráfica es simétrica con respecto al eje \(Y\).
   • Puesto que se cumplen los dos primeros criterios, automáticamente se cumple el tercero, es decir, la gráfica es simétrica con respecto al origen y por el tercer criterio de simetría basta considerar valores de \(r\) no negativos para obtener la gráfica correspondiente.
   • Al cambiar \(\theta \) por \(\dfrac{\pi }{2}-\theta \), obtenemos: \begin{equation*} r^{2}=a^{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =a^{2} \ \text{sen}\ \theta , \end{equation*} es decir, el cuarto criterio no nos da información adicional.

   Debido a que la gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes, basta con obtener la gráfica en el primer cuadrante y reflejar con respecto a cada eje.

   Consideremos en el plano cartesiano \(\Theta R\) la gráfica de \(r=a\sqrt{ \cos \left( 2\theta \right) }\) en \(\left[ 0,\dfrac{\pi }{4}\right] .\)

   

   Así, sustituyendo \(\theta =0\) en la ecuación, obtenemos \(r=a\). Ahora, si \(\theta \) varía entre \(0\) y \(\dfrac{\pi }{4}\), \(a\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) }\) disminuye de \(a\) a \(0,\) de \(\dfrac{\pi }{4}\) a \( \dfrac{\pi }{2},\) \(\cos \left( 2\theta \right) \) es negativo y no hay valores reales de \(r\) que satisfagan \(r=a\sqrt{\cos \left( 2\theta \right) } , \) la gráfica polar en el primer cuadrante es:

   

   usando las simetrías se obtiene:

   
2. Dibujar la gráfica de \(r^{2}=-a^{2} \ \text{sen}\left( 2\theta \right) .\)

   Solución:

   Notamos que esta ecuación es del tipo \(f\left( r\right) =g\left( \theta \right) \), donde \(f\left( r\right) =r^{2}\) y \(g\left( \theta \right) =-a^{2} \ \text{sen}\left( 2\theta \right) \).

   Aplicamos los criterios de simetría:

   El primer criterio no se satisface, pues si sustituimos \(\theta \) por \( -\theta ,\) tenemos \begin{eqnarray*} r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen}\left( 2\left( -\theta \right) \right) \\ & = & -a^{2} \ \text{sen}\left( -2\theta \right) \\ & = & a^{2} \ \text{sen}\left( 2\theta \right) \end{eqnarray*} o bien, si sustituimos la pareja \(\left( r,\theta \right) \) por la pareja \(\left( -r,\pi -\theta \right) ,\) tenemos \begin{eqnarray*} \left( -r\right) ^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\left( \pi -\theta \right) \right) \\ r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\pi -2\theta \right) \\ r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( -2\theta \right) \\ r^{2} & = & a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) . \end{eqnarray*} y el criterio tampoco se satisface. Por tanto, este primer criterio no da información

   El segundo criterio tampoco se cumple, ya que si sustituimos \(\theta \) por \( \pi -\theta ,\) de la misma manera que antes, tenemos \begin{eqnarray*} r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\left( \pi -\theta \right) \right) \\ & = & -a^{2}\left( - \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) \right) \\ & = & a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) . \end{eqnarray*} o bien, al sustituir la pareja \(\left( r,\theta \right) \) por la pareja \( \left( -r,-\theta \right) ,\) tenemos \begin{eqnarray*} \left( -r\right) ^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen}\left( 2\left( -\theta \right) \right) \\ r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( -2\theta \right) \\ r^{2} & = & a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) \end{eqnarray*} Por tanto, este segundo criterio tampoco da información

   El tercero se cumple, ya que al cambiar \(r\) por \(-r\) la ecuación no se altera. Entonces la gráfica es simétrica respecto al origen y por la observación del tercer criterio, basta considerar valores de \(r\) no negativos para obtener la gráfica correspondiente.

   Finalmente, cambiando \(\theta \) por \(\dfrac{\pi }{2}-\theta \) tenemos \begin{eqnarray*} r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) \right) \\ r^{2} & = & -a^{2} \ \text{sen}\left( \pi -2\theta \right) \\ r^{2} & = & -a^{2}\left( \ \text{sen}\ \pi \cos \left( 2\theta \right) -\cos \pi \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) \right) \\ r^{2} &=&-a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) . \end{eqnarray*} Entonces la gráfica es simétrica con respecto a la recta \(y=x.\)

   Dibujamos \(r=\sqrt{-a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) }\) en el plano cartesiano \(\Theta R\) en el intervalo \(\left[ 0,\pi \right] \)

   

   En el intervalo \(\left[ \dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{4}\right] ,\) \(\sqrt{ -a^{2} \ \text{sen} \ \left( 2\theta \right) }\) aumenta de \(0\) a \(a\) y en el intervalo \(\left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi \right] ,\) \(\sqrt{-a^{2} \ \text{sen}\ \left( 2\theta \right) }\) disminuye de \(a\) a \(0,\) la gráfica polar en los dos primeros cuadrantes es, por consiguiente:

   

   Reflejando con respecto a la recta \(y=x\) obtenemos la gráfica buscada

   

Ejercicios

1. \(r^{2}=-16\cos \left( 2\theta \right) .\)

2. \(r^{2}=9 \ \text{sen}\left( 2\theta \right) .\)

3. \(r^{2}=-4 \ \text{sen}\left( 2\theta \right) .\)

4. \(r^{2}=9\cos \left( 2\theta \right) .\)

5. \(r^{2}=-8\cos \left( 2\theta \right) .\)

6. \(r^{2}=-2 \ \text{sen}\left( 2\theta \right) .\)