Coordenadas Polares Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza${}^2$, Carlos Hernández Garciadiego${}^1$, Emma Lam Osnaya${}^2$ ${}^1$ Instituto de Matemáticas, UNAM; ${}^2$ Facultad de Ciencias, UNAM

Criterios de simetría

Así, la gráfica de $F(r,\theta )=0$ es simétrica respecto al eje $X$ si se cumple que $F(r,-\theta )=0.$

Ahora, si tomamos el punto $(-r,\pi -\theta ),$ ésta es otra representación del punto $(r,-\theta )$, es decir, también es el simétrico de $(r,\theta )$ respecto al eje $X.$

Observemos ahora que el punto $(r,\pi -\theta )$ es el simétrico de $(r,\theta )$ con respecto al eje $Y.$

Si tomamos ahora el punto $(-r,-\theta ),$ éste también es simétrico al punto $(r,\theta )$ respecto al eje $Y$, por ser $(-r,-\theta )$ otra representación de $(r,\pi -\theta ).$

Inmediatamente vemos que el punto $(-r,\theta )$ es el simétrico de $(r,\theta )$ con respecto al origen, es decir, al trazar la recta que une $(r,\theta )$ con el origen, $(-r,\theta )$ se encuentra sobre ella a la misma distancia del origen que $(r,\theta ).$

Entonces la gráfica de $F(r,\theta )=0$ es simétrica respecto al origen si se cumple que $F(-r,\theta )=0.$

Observamos que otra representación del punto $(-r,\theta )$ es $(r,\theta +\pi ),$ es decir, $(r,\theta +\pi )$ es el simétrico del punto $(r,\theta )$ respecto al origen.

Entonces la gráfica de $F(r,\theta )=0$ es simétrica respecto al origen si se cumple que $F(r,\theta +\pi )=0.$

Por último $(r,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$ es el simétrico de $(r,\theta )$ con respecto a la recta $y=x.$

El triángulo $\mathrm{△}OQP$ es isósceles, entonces la recta $y=x$ es la bisectriz del ángulo $\measuredangle QOP,$ de aquí tenemos que el segmento $PQ$ es perpendicular a la recta y $P$ y $Q$ son simétricos.

Entonces la gráfica de $F(r,\theta )=0$ es simétrica respecto a la recta $y=x$ si se cumple que $F(r,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )=0.$

Ahora es razonable establecer los siguientes cuatro criterios de simetría para gráficas polares:

1. Simetría respecto al eje $X$. Si al sustituir $\theta$ por $-\theta$ o la pareja $(r,\theta )$ por la pareja $(-r,\pi -\theta )$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al eje $X.$

   Observación: En el caso en que al sustituir $\theta$ por $-\theta$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces para determinar su gráfica basta considerar valores de $\theta$ no negativos.

2. Simetría respecto al eje $Y$. Si al sustituir $\theta$ por $\pi -\theta$ o la pareja $(r,\theta )$ por la pareja $(-r,-\theta )$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al eje $Y.$

3. Simetría respecto al origen. Si al sustituir $r$ por $-r$ o $\theta$ por $\pi +\theta$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al origen.

   Observación: En el caso en que al sustituir $r$ por $-r$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces para determinar su gráfica basta considerar valores de $r$ no negativos.

4. Simetría respecto a la recta $y=x$. Si al sustituir $\theta$ por ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$ en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto a la recta $y=x$.

Si se cumplen dos de los tres primeros criterios, se cumple el tercero.

Es frecuente que $F(r,\theta )$ sea de la forma $F(r,\theta )=f\left(r\right)-g\left(\theta \right).$ En tal caso, la ecuación $F(r,\theta )=0$ es equivalente a $f\left(r\right)=g\left(\theta \right)$ y entonces los criterios de simetría los podemos aplicar a esta última ecuación. Por ejemplo, la curva con ecuación polar $f\left(r\right)=g\left(\theta \right)$ es simétrica respecto al eje $X$ si $f\left(r\right)=g(-\theta )$, en cuyo caso es aplicable lo dicho en la observación del Criterio 1, y lo es respecto al origen si $f(-r)=g\left(\theta \right),$ en cuyo caso es aplicable lo dicho en la observación del Criterio 3.