Coordenadas Polares

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Criterios de simetría

Los criterios de simetría nos ayudarán a obtener la gráfica polar de una ecuación polar: \begin{equation*} F\left( r,\theta \right) =0 \end{equation*} donde \(F\left( r,\theta \right) \) es una función con valores reales. Consideremos un punto de coordenadas polares \(\left( r,\theta \right) ,\) entonces el punto \(\left( r,-\theta \right) \) es su simétrico con respecto al eje \(X.\)

Así, la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al eje \(X\) si se cumple que \(F\left( r,-\theta \right) =0.\)

Ahora, si tomamos el punto \(\left( -r,\pi -\theta \right) ,\) ésta es otra representación del punto \(\left( r,-\theta \right) \), es decir, también es el simétrico de \(\left( r,\theta \right) \) respecto al eje \(X.\)

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al eje \(X\) si se cumple que \(F\left( -r,\pi -\theta \right) =0.\)

Observemos ahora que el punto \(\left( r,\pi -\theta \right) \) es el simétrico de \(\left( r,\theta \right) \) con respecto al eje \(Y.\)

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al eje \(Y\) si se cumple que \(F\left( r,\pi -\theta \right) =0.\)

Si tomamos ahora el punto \(\left( -r,-\theta \right) ,\) éste también es simétrico al punto \(\left( r,\theta \right) \) respecto al eje \(Y\), por ser \(\left( -r,-\theta \right) \) otra representación de \(\left(r,\pi -\theta \right) .\)

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al eje \(Y\) si se cumple que \(F\left( -r,-\theta \right) =0.\)

Inmediatamente vemos que el punto \(\left( -r,\theta \right) \) es el simétrico de \(\left( r,\theta \right) \) con respecto al origen, es decir, al trazar la recta que une \(\left( r,\theta \right) \) con el origen, \(\left( -r,\theta \right) \) se encuentra sobre ella a la misma distancia del origen que \(\left( r,\theta \right) .\)

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al origen si se cumple que \(F\left( -r,\theta \right) =0.\)

Observamos que otra representación del punto \(\left( -r,\theta \right) \) es \(\left( r,\theta +\pi \right) ,\) es decir, \(\left( r,\theta +\pi \right) \) es el simétrico del punto \(\left( r,\theta \right) \) respecto al origen.

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto al origen si se cumple que \(F\left( r,\theta +\pi \right) =0.\)

Por último \(\left( r,\dfrac{\pi }{2}-\theta \right) \) es el simétrico de \(\left( r,\theta \right) \) con respecto a la recta \(y=x.\)

ésta es quizá la menos obvia de las observaciones, sin embargo no es difícil convencerse usando la figura siguiente:

El triángulo \(\triangle OQP\) es isósceles, entonces la recta \(y=x\) es la bisectriz del ángulo \(\measuredangle QOP,\) de aquí tenemos que el segmento \(PQ\) es perpendicular a la recta y \(P\) y \(Q\) son simétricos.

Entonces la gráfica de \(F\left( r,\theta \right) =0\) es simétrica respecto a la recta \(y=x\) si se cumple que \(F\left( r,\dfrac{\pi }{2} -\theta \right) =0.\)

Ahora es razonable establecer los siguientes cuatro criterios de simetría para gráficas polares:

  1. Simetría respecto al eje \(X\). Si al sustituir \(\theta \) por \(-\theta \) o la pareja \(\left( r,\theta \right) \) por la pareja \(\left( -r,\pi -\theta \right) \) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al eje \(X.\)

    Observación: En el caso en que al sustituir \(\theta \) por \( -\theta \) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces para determinar su gráfica basta considerar valores de \(\theta \) no negativos.

  2. Simetría respecto al eje \(Y\). Si al sustituir \(\theta \) por \(\pi -\theta \) o la pareja \(\left( r,\theta \right) \) por la pareja \(\left( -r,-\theta \right) \) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al eje \(Y.\)

  3. Simetría respecto al origen. Si al sustituir \(r\) por \(-r\) o \(\theta \) por \(\pi +\theta \) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto al origen.

    Observación: En el caso en que al sustituir \(r\) por \(-r\) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces para determinar su gráfica basta considerar valores de \(r\) no negativos.

  4. Simetría respecto a la recta \(y=x\). Si al sustituir \(\theta \) por \(\dfrac{\pi }{2}-\theta \) en una ecuación polar, ésta no se altera, entonces su gráfica polar es simétrica con respecto a la recta \(y=x\).

Si se cumplen dos de los tres primeros criterios, se cumple el tercero.

Es frecuente que \(F\left( r,\theta \right) \) sea de la forma \(F\left( r,\theta \right) =f\left( r\right) -g\left( \theta \right) .\) En tal caso, la ecuación \(F\left( r,\theta \right) =0\) es equivalente a \(f\left( r\right) =g\left( \theta \right) \) y entonces los criterios de simetría los podemos aplicar a esta última ecuación. Por ejemplo, la curva con ecuación polar \(f\left( r\right) =g\left( \theta \right) \) es simétrica respecto al eje \(X\) si \(f\left( r\right) =g\left( -\theta \right) \), en cuyo caso es aplicable lo dicho en la observación del Criterio 1, y lo es respecto al origen si \(f\left( -r\right) =g\left( \theta \right) ,\) en cuyo caso es aplicable lo dicho en la observación del Criterio 3.

Universidad Nacional Autónoma de México