Coordenadas Polares Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Caracoles

1. Dibujar la gráfica de \(r=a+b\ \text{sen}\ \theta \) con \(a,b>0.\)

   Solución:

   El primer criterio de simetría no funciona.

   Por otra parte, sustituyendo \(\theta \) por \(\pi -\theta ,\) se tiene: \begin{eqnarray*} r & = & a+b\ \text{sen}\left( \pi -\theta \right) \\ & = & a+b\left( \text{sen}\ \pi \cos \theta -\cos \pi\ \text{sen}\theta \right) \\ & = & a+b\ \text{sen}\ \theta , \end{eqnarray*} por lo que la gráfica es simétrica con respecto al eje \(Y.\)

   Los dos criterios restantes tampoco se cumplen en este caso.

   Para dibujar la gráfica polar, tracemos primero la gráfica cartesiana de \(r=b\ \text{sen}\ \theta \) en el intervalo \(\left[ 0,2\pi \right] \)

   

   Ahora dibujamos la gráfica cartesiana de \(r=a+b\ \text{sen}\ \theta \) en el intervalo \(\left[ 0,2\pi \right] .\)

   Debemos considerar tres casos:

   • Si \(a=b\)
     

   • Si \(a < b \)
     

   • Si \(a > b\)
     

   Entonces la gráfica polar puede ser alguna de las tres siguientes, de acuerdo como se comparen los reales \(a\) y \(b\):

   • Si \(a=b\)
     

     Observación: En este caso en que \(a=b\) la curva tiene apariencia de un corazón, por esta razón, a dichos caracoles se les llama cardioides.

   • Si \(a < b \)
     

   • Si \(a > b\)
     

   Recuerda que basta analizar, por ejemplo, en los intervalos \(\left[ 0,\dfrac{ \pi }{2}\right] \) y \(\left[ \pi ,\dfrac{3\pi }{2}\right] \) y reflejar con respecto al eje \(Y\) lo obtenido.

2. Dibujar la gráfica de \(r=a-b\cos \theta \), con \(a,\) \(b>0.\)

   Solución:

   Si sustituimos \(\theta \) por \(-\theta ,\) obtenemos \begin{eqnarray*} r & = & a-b\cos \left( -\theta \right) & = & a-b\cos \theta \end{eqnarray*} por lo que la gráfica es simétrica con respecto al eje \(X.\) Por el Primer criterio de simetría basta considerar valores de \(\theta \) no negativos para obtener la gráfica correspondiente.

   Los dos criterios restantes no se cumplen en este caso.

   Para dibujar la gráfica polar, tracemos primero la gráfica cartesiana de \(r=-b\cos \theta \) en el intervalo \(\left[ 0,2\pi \right] .\)

   

   Debemos considerar tres casos:

   • Si \(a=b\)
     

   • Si \(a < b \)
     

   • Si \(a>b\)
     

   Entonces la gráfica polar puede ser alguna de las tres siguientes, de acuerdo como se comparen los reales \(a\) y \(b\):

   • Si \(a=b\)
     

   • Si \(a < b \)
     

   • Si \(a > b\)
     

Ejercicios

1. \(r=3-3\cos \theta .\)

2. \(r=1-3\ \text{sen}\ \theta .\)

3. \(r=3+2\cos \theta .\)

4. \(r=4-4\ \text{sen}\ \theta .\)

5. \(r=6\left( 1-2\cos \theta \right) .\)

6. \(r=2\left( 1+2\ \text{sen}\ \theta \right) .\)

7. \(r=1+\cos \theta .\)

8. \(r=5\left( 2-\ \text{sen}\ \theta \right) .\)

9. \(r=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\cos \theta .\)

10. \(r=\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3}\ \text{sen}\ \theta .\)