Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 7

Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left( x,y,z\right) =\dfrac{xyz}{\left( 1+x\right) \left( x+y\right) \left( y+z\right) \left( z+81\right) }\] y determinar si son máximos, mínimos relativos o puntos silla.

Solución:

El dominio de la función es \(\mathbb{R}^{3}\setminus \left\{ \left( x,y,z\right) \left\vert \,x=-1,x=-y,y=-z\text{ o bien }z=-81\right. \right\} . \)

Calculamos las derivadas parciales de primer orden. \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x} & = & \dfrac{yz\left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) } \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} & = & \dfrac{xz\left( xz-y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) ^{2}} \\ \dfrac{\partial f}{\partial z} & = & \dfrac{xy\left( 81y-z^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) ^{2}\left( x+y\right) \left( y+z\right) ^{2}}. \end{eqnarray*} Igualamos las derivadas parciales de primer orden a cero y formamos el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \dfrac{yz\left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) } & = & 0 \\ \dfrac{xz\left( xz-y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) ^{2}} & = & 0 \\ \dfrac{xy\left( 81y-z^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) ^{2}\left( x+y\right) \left( y+z\right) ^{2}} & = & 0. \end{eqnarray*} Entonces \begin{eqnarray} yz\left( y-x^{2}\right) & = & 0 \notag \\ xz\left( xz-y^{2}\right) & = & 0 \label{7.1}\tag{7.1} \\ xy\left( 81y-z^{2}\right) & = & 0 . \notag \end{eqnarray} De la primera ecuación tenemos \begin{equation*} y=0,\quad \quad \quad z=0 \quad \quad \quad \text{o } \quad \quad \quad y-x^{2}=0. \end{equation*}

1. Si \(y=0,\) entonces sustituyendo este valor en la segunda ecuación tenemos \begin{equation*} x^{2}z^{2}=0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} x=0 \quad \quad \quad \text{o } \quad \quad \quad z=0. \end{equation*}
   • En el primero de estos casos tenemos \(y=0\) y \(x=0,\) de donde \(x+y=0\) y el denominador de la función es cero, por lo que en este caso la función \(f\left( x,y,z\right) \) no está definida.
   • En el segundo, tenemos \(y=0\) y \(z=0,\) de donde \(z+y=0\) y el denominador de la función es cero, por lo que en este caso la función \(f\left( x,y,z\right) \) no está definida.
2. Supongamos \(y\neq 0.\)
   • Si \(z=0,\) entonces de la tercera ecuación de (\ref{7.1}) tenemos \begin{equation*} xy\left( 81y\right) =81xy^{2}=0 \end{equation*} de donde \begin{equation*} x=0. \end{equation*} Entonces tenemos que los puntos \(\left( 0,y,0\right) \) con \(y\neq 0\) son estacionarios.
   • Supongamos que \(y\neq 0,z\neq 0\) y \(y-x^{2}=0\).

     Por la primera ecuación del sistema (\ref{7.1}) \(x\neq 0,\) pues en caso contrario \(yz\left( y-x^{2}\right) =y^{2}z=0,\) lo que contradice que \(y\neq 0,z\neq 0\), entonces el sistema es equivalente al siguiente \begin{eqnarray*} y-x^{2} & = & 0 \\ xz-y^{2} & = & 0 \\ 81y-z^{2} & = & 0. \end{eqnarray*} Despejamos \(y\) de la primera ecuación del sistema anterior \begin{equation} y=x^{2} \label{7.2}\tag{7.2} \end{equation} y sustituyendo en la tercera \begin{eqnarray*} 81x^{2}-z^{2} & = & 0 \\ \left( 9x-z\right) \left( 9x+z\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} z=9x \quad \quad \quad \text{o } \quad \quad \quad z=-9x. \end{equation*}

     • Si \(z=-9x,\) entonces sustituyendo en la segunda ecuación \begin{eqnarray*} xz-y^{2} & = & 0 \\ -9x^{2}-y^{2} & = & 0 \\ 9x^{2}+y^{2} & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \(x=y=0,\) entonces \(x+y=0\) y el denominador de la función es cero, por lo que en este caso la función \(f\left( x,y,z\right) \) no está definida.
     • Si \(z=9x,\) sustituyendo en la segunda ecuación \begin{eqnarray*} xz-y^{2} & = & 0 \\ 9x^{2}-y^{2} & = & 0 \\ \left( 3x-y\right) \left( 3x+y\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=3x \quad \quad \quad \text{o } \quad \quad \quad y=-3x. \end{equation*} Si \(y=3x,\) como sabemos por (\ref{7.2}), \(y=x^{2},\) entonces \begin{eqnarray*} x^{2} & = & 3x \\ x^{2}-3x & = & 0 \\ x\left( x-3\right) & = & 0. \end{eqnarray*} Como \(x\neq 0,\) entonces \begin{equation*} x=3. \end{equation*} Así \begin{eqnarray*} y & = & 9 \\ z & = & 27. \end{eqnarray*} Por lo tanto, el punto \(\left( 3,9,27\right) \) es estacionario.

       Si \(y=-3x,\) como sabíamos que \(y=x^{2},\) entonces \begin{eqnarray*} x^{2} & = & -3x \\ x^{2}+3x & = & 0 \\ x\left( x+3\right) & = & 0. \end{eqnarray*} Como \(x\neq 0,\) entonces \begin{equation*} x=-3, \end{equation*} de donde \begin{eqnarray*} y &=&9 \\ z &=&-27. \end{eqnarray*} Por tanto, el punto es \(\left( -3,9,-27\right) \) es estacionario.

Para determinar si en dichos puntos hay un máximo o un mínimo, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que las derivadas de primer orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x} & = &\dfrac{yz\left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) } \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} & = &\dfrac{xz\left( xz-y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) ^{2}} \\ \dfrac{\partial f}{\partial z} & = &\dfrac{xy\left( 81y-z^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) ^{2}\left( x+y\right) \left( y+z\right) ^{2}}. \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas de segundo orden \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & = &\dfrac{-2yz\left( -x^{3}+3xy+y^{2}+y\right) }{\left( x+1\right) ^{3}\left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{3}\left( y+z\right) } \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} & = &\dfrac{-2xz\left( x^{2}z+3xyz+xz^{2}-y^{3}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{3}\left( y+z\right) ^{3}} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}} & = &\dfrac{-2xy\left( 3^{4}y^{2}+3^{5}yz+3^{8}y-z^{3}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) ^{3}\left( x+y\right) \left( y+z\right) ^{3}} \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} & =& \dfrac{z\left( -zx^{3}+2x^{2}y^{2}+zx^{2}y+xy^{2}+2zxy-y^{3}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( z+81\right) \left( x+y\right) ^{3}\left( y+z\right) ^{2}}=\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x} & = &\dfrac{y\left( 3^{4}y-z^{2}\right) \left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( z+81\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) ^{2}}=\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial z} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y} & = &\dfrac{x\left( -3^{4}y^{3}+2y^{2}z^{2}+3^{4}y^{2}z+xyz^{2}+2\left( 3^{4}\right) xyz-xz^{3}\right) }{\left( x+1\right) \left( z+81\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}\left( y+z\right) ^{3}}=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}. \end{eqnarray*} Evaluamos estas derivadas en el punto \(\left( 3,9,27\right) \) \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{ -2\left( 9\right) 27\left( -3^{3}+3\left( 3\right) 9+9^{2}+9\right) }{\left( 3+1\right) ^{3}\left( 27+81\right) \left( 3+9\right) ^{3}\left( 9+27\right) } =\dfrac{-1}{2^{11}3} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{ -2\left( 3\right) 27\left( 3^{2}27+3\left( 3\right) 9\left( 27\right) +3\left( 27\right) ^{2}-9^{3}\right) }{\left( 3+1\right) \left( 27+81\right) \left( 3+9\right) ^{3}\left( 9+27\right) ^{3}} = \dfrac{-1}{2^{11}3^{3}} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{ -2\left( 3\right) 9\left( 3^{4}9^{2}+3^{5}\left( 9\right) 27+3^{8}9-27^{3}\right) }{\left( 3+1\right) \left( 27+81\right) ^{3}\left( 3+9\right) \left( 9+27\right) ^{3}} = \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3^{5}\right) } \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{ 27\left( -27\left( 3^{3}\right) +2\left( 3^{2}\right) 9^{2}+27\left( 3^{2}\right) 9+3\left( 9^{2}\right) +2\left( 27\right) 3\left( 9\right) -9^{3}\right) }{\left( 3+1\right) ^{2}\left( 27+81\right) \left( 3+9\right) ^{3}\left( 9+27\right) ^{2}} = \dfrac{1}{2^{12}3^{2}} \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x} \left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{9\left( 3^{4}9-27^{2}\right) \left( 9-3^{2}\right) }{\left( 3+1\right) ^{2}\left( 27+81\right) ^{2}\left( 3+9\right) ^{2}\left( 9+27\right) ^{2}}=0 \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( 3,9,27\right) & = & \dfrac{3\left( -3^{4}9^{3}+2\left( 9^{2}\right) 27^{2}+3^{4}\left( 9^{2}\right) 27+3\left( 9\right) \left( 27^{2}\right) +2\left( 3^{4}\right) 3\left( 9\right) 27-3\left( 27^{3}\right) \right) }{\left( 3+1\right) \left( 27+81\right) ^{2}\left( 3+9\right) ^{2}\left( 9+27\right) ^{3}} = \dfrac{1}{2^{12}3^{4}}. \end{eqnarray*} De donde

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,9,27\right) =\dfrac{-1 }{2^{11}3} < 0. \)
•   \begin{eqnarray*} \left\vert H_{2}(f,\left( 3,9,27\right) )\right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 3,9,27\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 3,9,27\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3\right) } & & \dfrac{1}{2^{12}3^{2}} \\ & & \\ \dfrac{1}{2^{12}3^{2}} & & \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3^{3}\right) }% \end{array}% \right\vert & & \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2^{22}3^{3}}\left( \dfrac{1}{4}\right) >0. \end{eqnarray*}

•   \begin{eqnarray*} \left\vert H_{3}(f,\left( 3,9,27\right) )\right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( 3,9,27\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( 3,9,27\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial z}\left( 3,9,27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( 3,9,27\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccccc} \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3\right) } & & \dfrac{1}{2^{12}3^{2}} & & 0 \\ & & & & \\ \dfrac{1}{2^{12}3^{2}} & & \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3^{3}\right) } & & \dfrac{1}{2^{12}3^{4}} \\ & & & & \\ 0 & & \dfrac{1}{2^{12}3^{4}} & & \dfrac{-1}{2^{11}\left( 3^{5}\right) } \end{array} \right\vert \\ \\ & = & \dfrac{1}{2^{33}\left( 3^{7}\right) }\left( -\dfrac{1}{18}\right) < 0. \end{eqnarray*} Por tanto,de acuerdo con el segundo inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29 hay un máximo relativo estricto en \(\left( 3,9,27\right) \) y el valor de la función en ese punto es \begin{eqnarray*} f\left( 3,9,27\right) &=&\dfrac{3\times 9\times 27}{\left( 1+3\right) \left( 3+9\right) \left( 9+27\right) \left( 27+81\right) } \\ &=&3.9063\times 10^{-3}. \end{eqnarray*}

•   \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -3,9,-27\right) =\dfrac{ 1 }{2^{5}3}>0.\)
•   \begin{eqnarray*} \left\vert H_{2}(f,\left( -3,9,-27\right) )\right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( -3,9,-27\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( -3,9,-27\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{1}{2^{5}3} & & \dfrac{1}{2^{6}3^{2}} \\ & & \\ \dfrac{1}{2^{6}3^{2}} & & -\dfrac{1}{2^{5}3^{3}} \end{array} \right\vert & & \\ & & \\ & = & \dfrac{1}{2^{10}3^{3}}\left( -\dfrac{5}{12}\right) < 0. \end{eqnarray*}
•   \begin{eqnarray*} \left\vert H_{3}(f,\left( -3,9,-27\right) )\right\vert &=&\left\vert \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( -3,9,-27\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( -3,9,-27\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}\left( -3,9,-27\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( -3,9,-27\right) \end{array}% \right\vert \\ & & \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{2^{5}3} & & \dfrac{1}{2^{6}3^{2}} & & 0 \\ & & & & \\ \dfrac{1}{2^{6}3^{2}} & & -\dfrac{1}{2^{5}3^{3}} & & -\dfrac{1}{2^{7}3^{4}} \\ & & & & \\ 0 & & -\dfrac{1}{2^{7}3^{4}} & & \dfrac{1}{2^{5}3^{5}} \end{array} \right\vert & & \\ & & \\ & = &\dfrac{1}{2^{15}3^{7}}\left( -\dfrac{7}{48}\right) < 0. \end{eqnarray*} Por tanto, hay un punto silla en el punto \(\left( -3,9,-27\right) . \)

Analizamos ahora que sucede en los puntos estacionarios \(\left( 0,y,0\right)\) con \(y\neq 0,\)encontrados en el apartado (b).

Todas las derivadas de segundo orden en \(\left( 0,y,0\right) \) valen cero excepto \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( 0,y,0\right) =\dfrac{ y\left( 3^{4}y\right) \left( y\right) }{\left( 1\right) ^{2}\left( 81\right) ^{2}\left( y\right) ^{2}\left( y\right) ^{2}}=\dfrac{1}{81y} \end{equation*}

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,y,0\right) =0.\)
• \(\left\vert H_{2}(f,\left( 0,y,0\right) )\right\vert =0.\)
• \(\left\vert H_{3}(f,\left( 0,y,0\right) )\right\vert =0.\)

Veremos directamente a partir de la definición que \(\left( 0,y,0\right) \) es un punto silla; es decir en cada vecindad de \(\left( 0,y,0\right) \) la función toma un valor mayor y otro menor que \(f\left( 0,y,0\right) \).

Consideremos el punto \(\left( 0,y_{0},0\right) \) con \(y_{0}\neq 0\) y \(y_{0}\) fijo. Tenemos que \(f\left( 0,y_{0},0\right) =0.\)

Entonces \begin{equation*} f\left( x,y_{0},z\right) =\dfrac{xy_{0}z}{\left( 1+x\right) \left( x+y_{0}\right) \left( y_{0}+z\right) \left( z+81\right). } \end{equation*} Sea \(\varepsilon >0\), con \(\varepsilon < 2\left\vert y_{0}\right\vert \) y \(\varepsilon <1\) y tomemos la bola \(B_{\varepsilon }\left( 0,y_{0},0\right) .\)

Elegimos \(x\) y \(z\) tales que \(\left\vert x\right\vert ,\left\vert z\right\vert < \dfrac{\varepsilon }{2},\) de donde \begin{equation*} \left( x,y_{0},z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,y_{0},0\right) \end{equation*} y \(\left\vert x\right\vert ,\left\vert z\right\vert <1,\) de donde \begin{equation*} -1 < x \qquad \text{y }\qquad -81 < -1 < z \end{equation*} así, \begin{equation*} 1+x>0\qquad \text{y}\qquad z+81>0. \end{equation*} Como \(\left\vert x\right\vert ,\left\vert z\right\vert <\dfrac{\varepsilon }{ 2}<\left\vert y_{0}\right\vert \), entonces

• Si \(y_{0}>0,\) entonces \(-y_{0} < x < y_{0} \) y \(-y_{0} < z < y_{0} \) de donde \(\left( x+y_{0}\right) \left( y_{0}+z\right) >0.\)
• Si \(y_{0} < 0,\) entonces \(y_{0} < x <-y_{0}\) y \(y_{0} < z < -y_{0} \) de donde \(\left( x+y_{0}\right) \left( y_{0}+z\right) >0.\)

Si \(x\) y \(z\) tienen signos distintos, entonces \(f\left( x,y_{0},z\right) \) tiene signo contrario al de \(y_{0}.\) Entonces \(f\) toma un valor positivo y uno negativo en \(B_{\varepsilon }\left( 0,y_{0},0\right) .\)

Así en \(\left( 0,y_{0},0\right) \) hay un punto silla.