Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 6

Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left( x,y,z\right) =xyz+\dfrac{16}{x}+\dfrac{81}{y}+\dfrac{256}{z}\] y determinar si son máximos, mínimos relativos o puntos silla.

Solución:

El dominio de la función es \(\mathbb{R}^{3}\setminus \left\{ \left. \left( x,y,z\right) \right\vert x=0,y=0\text{ o bien }z=0\right\} .\)

Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x} & = & yz-\dfrac{16}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}yz-16}{ x^{2}} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} & = & xz-\dfrac{81}{y^{2}}=\dfrac{xy^{2}z-81}{ y^{2}} \\ \dfrac{\partial f}{\partial z} & = & xy-\dfrac{256}{z^{2}}=\dfrac{xyz^{2}-256}{ z^{2}}. \end{eqnarray*} Igualamos las derivadas parciales de primer orden a cero y formamos el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \dfrac{x^{2}yz-16}{x^{2}} & = & 0 \\ \dfrac{xy^{2}z-81}{y^{2}} & = & 0 \\ \dfrac{xyz^{2}-256}{z^{2}} & = & 0. \end{eqnarray*} Entonces \begin{eqnarray} x^{2}yz-16 & = & 0 \notag \\ xy^{2}z-81 & = & 0 \label{prob6} \\ xyz^{2}-256 & = & 0. \notag \end{eqnarray} Por la primera ecuación tenemos \begin{equation*} y=\dfrac{16}{x^{2}z} \end{equation*} ya que \(x\) y \(z\) son distintos de cero, pues de otra manera la función no está definida, y sustituimos en las otras dos \begin{eqnarray*} x\left( \dfrac{16}{x^{2}z}\right) ^{2}z-81 & = & 0 \\ x\left( \dfrac{16}{x^{2}z}\right) z^{2}-256 & = & 0, \end{eqnarray*} de donde, \begin{eqnarray*} \dfrac{256}{x^{3}z}-81 & = & 0 \\ \dfrac{16z}{x}-256 & = & 0. \end{eqnarray*} Despejando \(z\) de la segunda ecuación del sistema anterior \begin{equation*} z=16x \end{equation*} y sustituyendo este valor en la primera, tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{256}{x^{3}\left( 16x\right) }-81 & = & 0 \\ \dfrac{16}{x^{4}}-81 & = & 0 \\ \dfrac{16}{x^{4}} & = & 81 \\ \dfrac{16}{81} & = & x^{4} \\ \sqrt[4]{\dfrac{16}{81}} & = & \left\vert x\right\vert , \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=-\dfrac{2}{3} \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3}. \end{equation*}

Así, los puntos estacionarios de \(f\) son \(\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{ 27}{8},-\dfrac{32}{3}\right) \) y \(\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{27}{8},\dfrac{ 32 }{3}\right) .\)

Para determinar si en dichos puntos hay un máximo o un mínimo relativo estricto, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que las derivadas parciales de primer orden son \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}=yz-\dfrac{16}{x^{2}},\quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=xz-\dfrac{81}{y^{2}},\quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial z}=xy-\dfrac{256}{z^{2}}. \end{equation*} Entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=\dfrac{32}{x^{3}},\quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=\dfrac{162}{y^{3}},\quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}=\dfrac{512}{z^{3}} \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} & = & z=\dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial x\partial y} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x} & = & y=\dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial x\partial z} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y} & = & x=\dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y\partial z}. \end{eqnarray*} El determinante hessiano es \begin{eqnarray*} \left\vert H_{3}(f,\left( x,y,z\right) )\right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x} \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y^{2}} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y} \\ & & & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial z} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y\partial z} & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}} \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = &\left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{32}{x^{3}} & z & y \\ z & \dfrac{162}{y^{3}} & x \\ y & x & \dfrac{512}{z^{3}} \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = &\dfrac{32}{x^{3}}\left( \dfrac{162}{y^{3}}\left( \dfrac{512}{z^{3}} \right) -x^{2}\right) -z\left( \dfrac{512}{z^{2}}-xy\right) +y\left( xz- \dfrac{162}{y^{2}}\right) \end{eqnarray*} y \begin{equation*} \left\vert H_{2}(f,\left( x,y,z\right) )\right\vert =\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y} & \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y^{2}} \end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{32}{x^{3}} & z \\ z & \dfrac{162}{y^{3}} \end{array} \right\vert =\dfrac{32}{x^{3}}\left( \dfrac{162}{y^{3}}\right) -z^{2}. \end{equation*}