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Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
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Ejemplo 5
Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left(
x,y,z\right) =e^{x-y}\left( x^{2}-2y^{2}-4z^{2}\right) \] y determinar si son
máximos, mínimos relativos o puntos silla.
Solución:
Calculamos las derivadas de primer orden
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & -e^{x-y}\left(
-x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2}\right) \\
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & e^{x-y}\left(
-x^{2}+2y^{2}-4y+4z^{2}\right) \\
\dfrac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & -8ze^{x-y}.
\end{eqnarray*}
Para encontrar los puntos estacionarios resolvemos el sistema
\begin{eqnarray*}
-e^{x-y}\left( -x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2}\right) & = & 0 \\
e^{x-y}\left( -x^{2}+2y^{2}-4y+4z^{2}\right) & = & 0 \\
-8ze^{x-y} & = & 0,
\end{eqnarray*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
-x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2} & = & 0 \\
-x^{2}+2y^{2}-4y+4z^{2} & = & 0 \\
-8z & = & 0.
\end{eqnarray*}
De la tercera ecuación tenemos que \(z=0.\) Sustituimos este valor en las
dos primeras ecuaciones
\begin{eqnarray}
-x^{2}-2x+2y^{2} & = & 0 \notag \\
-x^{2}+2y^{2}-4y & = & 0 \label{5.1}\tag{5.1}
\end{eqnarray}
Multiplicamos por \(-1\) la segunda ecuación de (\ref{5.1}) y la sumamos
a la primera
\begin{equation*}
\begin{array}{r}
-x^{2}-2x+2y^{2}=0 \\
\underline{x^{2}-2y^{2}+4y=0} \\
\,-2x+4y=0
\end{array}
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
y=\dfrac{x}{2}.
\end{equation*}
Sustituimos este valor de \(y\) en la segunda ecuación (\ref{5.1})
\begin{eqnarray*}
-x^{2}+2\left( \dfrac{x}{2}\right) ^{2}-4\left( \dfrac{x}{2}\right) & = & 0 \\
-x^{2}+\dfrac{x^{2}}{2}-2x & = & 0 \\
-\dfrac{1}{2}x^{2}-2x & = & 0 \\
-x\left( \dfrac{x}{2}+2\right) & = & 0.
\end{eqnarray*}
De donde,
\begin{equation*}
x=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x=-4.
\end{equation*}
- Si \(x=0,\) entonces \(y=0.\)
- Si \(x=-4,\) entonces \(y=-2.\)
Los puntos estacionarios son
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \quad \quad \quad \text{y}\quad \quad \quad \left(
-4,-2,0\right).
\end{equation*}
Para determinar si en dichos puntos hay un máximo o un mínimo,
calculamos las derivadas parciales de segundo orden.
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & = &\dfrac{\partial }{\partial x}
\left( -e^{x-y}\left( -x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2}\right) \right) =e^{x-y}\left(
x^{2}+4x-2y^{2}-4z^{2}+2\right) \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} & = &\dfrac{\partial }{\partial y}
\left( e^{x-y}\left( -x^{2}+2y^{2}-4y+4z^{2}\right) \right) =-e^{x-y}\left(
-x^{2}+2y^{2}-8y+4z^{2}+4\right) \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}} & = &\dfrac{\partial }{\partial z}
\left( -8ze^{x-y}\right) =-8e^{x-y}
\end{eqnarray*}
y
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} & = &\dfrac{\partial }{\partial y}
\left( -e^{x-y}\left( -x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2}\right) \right) =-e^{x-y}\left(
x^{2}+2x-2y^{2}+4y-4z^{2}\right) \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x} & = &\dfrac{\partial }{\partial z}
\left( -e^{x-y}\left( -x^{2}-2x+2y^{2}+4z^{2}\right) \right) =-8ze^{x-y} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z} & = &\dfrac{\partial }{\partial y}
\left( -8ze^{x-y}\right) =8ze^{x-y}.
\end{eqnarray*}
Ahora evaluamos en los puntos obtenidos:
- En \(\left( 0,0,0\right) \) tenemos
\begin{equation*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0,0\right) =2e^{-2},\quad
\quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 0,0,0\right)
=-4e^{-2},\quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left(
0,0,0\right) =-8e^{-2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccl}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 0,0,0\right) & = & 0 & =
& \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 0,0,0\right)
\\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( 0,0,0\right) & = & 0 & =
& \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}\left( 0,0,0\right)
\\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}\left( 0,0,0\right) & = & 0 & =
& \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( 0,0,0\right)
\end{array}
\end{equation*}
de donde
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0,0\right) =2e^{-2}>0.\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( 0,0,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
2e^{-2} & 0 \\
0 & -4e^{-2}
\end{array}
\right\vert =-8e^{-4} < 0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( 0,0,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
2e^{-2} & 0 & 0 \\
0 & -4e^{-2} & 0 \\
0 & 0 & -8e^{-2}
\end{array}
\right\vert =64e^{-6}>0.
\end{equation*}
Entonces, por el tercer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
Entonces \(f\) tiene un punto silla en \(\left( 0,0,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( 0,0,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( 0,0,0\right) =e^{0-0}\left( 0^{2}-2\left( 0\right) ^{2}-4\left(
0\right) ^{2}\right) =0.
\end{equation*}
- En \(\left( -4,-2,0\right) \) tenemos
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -4,-2,0\right) & = & e^{-2}\left(
\left( -4\right) ^{2}+4\left( -4\right) -2\left( -2\right) ^{2}-4\left(
0\right) ^{2}+2\right) =-6e^{-2} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( -4,-2,0\right) & = & -e^{-2}\left(
-\left( -4\right) ^{2}+2\left( -2\right) ^{2}-8\left( -2\right) +4\left(
0\right) ^{2}+4\right) =-12e^{-2} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( -4,-2,0\right) & = & -8e^{-2}
\end{eqnarray*}
y
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( -4,-2,0\right)
& = & -e^{-2}\left( \left( -4\right) ^{2}+2\left( -4\right) -2\left( -2\right)
^{2}+4\left( -2\right) \right) =8e^{-2} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( -4,-2,0\right) & = & 0 \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}\left( -4,-2,0\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
de donde
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -4,-2,0\right)
=-6e^{-2} < 0 .\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( -4,-2,0\right) \right) \right\vert
=\left\vert
\begin{array}{cc}
-6e^{-2} & 8e^{-2} \\
8e^{-2} & -12e^{-2}
\end{array}
\right\vert =8e^{-4}>0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( -4,-2,0\right) \right) \right\vert
=\left\vert
\begin{array}{ccc}
-6e^{-2} & 8e^{-2} & 0 \\
8e^{-2} & -12e^{-2} & 0 \\
0 & 0 & -8e^{-2}
\end{array}
\right\vert =-64e^{-6} < 0.
\end{equation*}
Entonces, por el segundo inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
la función \(f\) tiene un máximo en \(\left( -4,-2,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( -4,-2,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( -4,-2,0\right) =e^{-4-\left( -2\right) }\left( \left( -4\right)
^{2}-2\left( -2\right) ^{2}-4\left( 0\right) ^{2}\right) =8e^{-2}.
\end{equation*}