Calculamos las derivadas de primer orden
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & \left( y-3\right)
\left( 2x+y-6\right) \\
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & \left( x-3\right)
\left( x+2y-6\right) \\
\dfrac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z.
\end{eqnarray*}
Formamos el sistema
\begin{eqnarray}
\left( y-3\right) \left( 2x+y-6\right) & = & 0 \notag \\
\left( x-3\right) \left( x+2y-6\right) & = & 0 \label{4.1}\tag{4.1} \\
2z & = & 0 . \notag
\end{eqnarray}
De la tercera ecuación tenemos que \(z=0.\)
De la primera tenemos que
\begin{equation*}
y=3\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad 2x+y-6=0.
\end{equation*}
- En \(\left( 2,2,0\right) \) tenemos
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 2,2,0\right) =2\left(
2\right) -6= -2 < 0.\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( 2,2,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
-2 & -1 \\
-1 & -2
\end{array}
\right\vert =3>0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( 2,2,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
-2 & -1 & 0 \\
-1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right\vert =6>0.
\end{equation*}
Entonces, por el tercer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
hay un punto silla en \(\left( 2,2,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( 2,2,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( 2,2,0\right) =\left( 3-2\right) \left( 3-2\right) \left(
2+2-3\right) +0^{2}=1.
\end{equation*}
- En \(\left( 3,0,0\right) \) tenemos
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,0,0\right) =-6 < 0.\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( 3,0,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
-6 & -3 \\
-3 & 0
\end{array}
\right\vert =-9 < 0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( 3,0,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
-6 & -3 & 0 \\
-3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right\vert =-18 < 0.
\end{equation*}
Entonces, nuevamente por el tercer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
hay un punto silla en \(\left( 3,0,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( 3,0,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( 3,0,0\right) =\left( 3-3\right) \left( 3-0\right) \left(
3+0-3\right) +0^{2}=0.
\end{equation*}
- En \(\left( 0,3,0\right) \) tenemos
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,3,0\right) =0.\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( 0,3,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-3 & 0
\end{array}
\right\vert =-9 < 0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( 0,3,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
0 & -3 & 0 \\
-3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right\vert =-18 < 0.
\end{equation*}
Entonces, de igual manera, por el tercer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
hay un punto silla en \(\left( 0,3,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( 0,3,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( 0,3,0\right) =\left( 3-0\right) \left( 3-3\right) \left(
0+3-3\right) +0^{2}=0.
\end{equation*}
- En \(\left( 3,3,0\right) \) tenemos
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 3,3,0\right) =0.\)
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( 3,3,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
0 & 3 \\
3 & 0
\end{array}
\right\vert =-9 < 0.
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( 3,3,0\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 0 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right\vert =-18 < 0.
\end{equation*}
Entonces, nuevamente, por el tercer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29
hay un punto silla en \(\left( 3,3,0\right) .\)
El valor de la función en \(\left( 3,3,0\right) \) es
\begin{equation*}
f\left( 3,3,0\right) =\left( 3-3\right) \left( 3-3\right) \left(
3+3-3\right) +0^{2}=0.
\end{equation*}
