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Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
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Ejemplo 2
Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left(
x,y,z\right) =x^{4}+y^{4}+z^{4}-4xyz \] y determinar si son máximos,
mínimos relativos o puntos silla.
Solución:
Calculamos las derivadas de primer orden
\begin{equation*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =4x^{3}-4yz,\quad
\quad \quad \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =4y^{3}-4xz,
\quad \quad \quad \frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y\right)
=4z^{3}-4xy
\end{equation*}
y las igualamos a cero
\begin{eqnarray}
x^{3}-yz & = & 0 \label{2.1}\tag{2.1} \\
y^{3}-xz & = & 0 \notag \\
z^{3}-xy & = & 0. \notag
\end{eqnarray}
- Si \(y\neq 0,\) entonces de la primera ecuación obtenemos
\begin{equation}
z=\dfrac{x^{3}}{y}. \label{2.2}\tag{2.2}
\end{equation}
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación de (\ref{2.1})
\begin{eqnarray*}
y^{3}-x\left( \dfrac{x^{3}}{y}\right) & = & 0 \\
y^{4}-x^{4} &=&0 \\
\left( y^{2}-x^{2}\right) \left( y^{2}+x^{2}\right) & = & 0 \\
\left( y-x\right) \left( y+x\right) \left( y^{2}+x^{2}\right) & = &0
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
y=x\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad y=-x.
\end{equation*}
- Si \(y=x,\) entonces por (\ref{2.2})
\begin{equation*}
z=\dfrac{x^{3}}{x}=x^{2},
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
z=x\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad z=-x.
\end{equation*}
- Si \(x=z,\) entonces \(y=x=z\) y de la tercera ecuación de (\ref{2.1}
) obtenemos
\begin{eqnarray*}
z^{3}-xy & = & 0 \\
z^{3}-z^{2} & = & 0 \\
z^{2}\left( z-1\right) & = & 0,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
z^{2}=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad z-1=0,
\end{equation*}
es decir,
\begin{equation*}
z=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad z=1.
\end{equation*}
Así, para \(y\neq 0\) y \(x=z\), obtenemos las soluciones
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \quad \quad \quad \text{y}\quad \quad \quad \left(
1,1,1\right).
\end{equation*}
Como supusimos \(y\neq 0,\) desechamos la primera, entonces en este caso
tenemos el punto estacionario \(\left( 1,1,1\right) .\)
- Si \(y=x\) y \(z=-x,\) entonces
\begin{eqnarray*}
-x^{3}-x^{2} &=&0 \\
-x^{2}\left( x+1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
-x^{2}=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x+1=0,
\end{equation*}
es decir
\begin{equation*}
x=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x=-1.
\end{equation*}
Tenemos las soluciones
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad \left(
-1,-1,1\right).
\end{equation*}
Nuevamente desechamos la primera, ya que supusimos \(y\neq 0.\) y obtenemos
el punto estacionario \(\left( -1,-1,1\right) \).
- Si \(y=-x,\) entonces por (\ref{2.2})
\begin{equation*}
z=\dfrac{x^{3}}{-x}=-x^{2},
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
-z=x\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad -z=-x.
\end{equation*}
- Si \(y=-x=z,\) entonces de la primera ecuación
\begin{eqnarray*}
x^{3}-yz & = & 0 \\
x^{3}-x^{2} & = & 0 \\
x^{2}\left( x-1\right) & = & 0,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
x^{2}=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x-1=0,
\end{equation*}
así
\begin{equation*}
x=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x=1.
\end{equation*}
Tenemos las soluciones
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad \left(
1,-1,-1\right). .
\end{equation*}
Descartamos \(\left( 0,0,0\right) \) ya que \(y\neq 0\), obtenemos el punto
estacionario \(\left( 1,-1,-1\right) .\)
- Si \(y=-x=-z\) entonces de la primera ecuación
\begin{eqnarray*}
x^{3}-yz & = & 0 \\
x^{3}+x^{2} & = & 0 \\
x^{2}\left( x+1\right) & = & 0.
\end{eqnarray*}
De donde
\begin{equation*}
x^{2}=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x+1=0,
\end{equation*}
así
\begin{equation*}
x=0\quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x=-1,
\end{equation*}
tenemos las soluciones
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad \left(
-1,1,-1\right).
\end{equation*}
Descartamos \(\left( 0,0,0\right) \) por la misma razón que antes y
tenemos el punto estacionario \(\left( -1,1,-1\right) .\)
- Si \(y=0,\) de la primera y tercera ecuaciones de (\ref{2.1}) tenemos
\begin{eqnarray*}
x^{3} & = & 0 \\
z^{3} & = & 0,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
x=y=z=0.
\end{equation*}
El punto obtenido es \(\left( 0,0,0\right) .\)
Entonces los puntos estacionarios son:
\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) ,\qquad \left( 1,1,1\right) ,\qquad \left(
-1,-1,1\right) ,\qquad \left( 1,-1,-1\right) ,\qquad \text{y}\qquad \left(
-1,1,-1\right) . \label{2.3}\tag{2.3}
\end{equation*}
Para determinar si en dichos puntos hay un máximo o un mínimo
relativo estricto, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.
Recordamos que las derivadas de primer orden son
\begin{equation*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right) =4x^{3}-4yz,\quad
\quad \quad \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right) =4y^{3}-4xz,
\quad \quad \quad \frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right)
=4z^{3}-4xy.
\end{equation*}
Calculamos las derivadas de segundo orden
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 12x^{2} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 12y^{2} \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 12z^{2}
\end{eqnarray*}
y
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & = & -4z=
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y,z\right) \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( x,y,z\right) & = & -4y=
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}\left( x,y,z\right) \\
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( x,y,z\right) & = & -4x=
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) .
\end{eqnarray*}
El determinante hessiano es
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccc}
12x^{2} & -4z & -4y \\
-4z & 12y^{2} & -4x \\
-4y & -4x & 12z^{2}
\end{array}
\right\vert
\end{equation*}
Observamos que en el punto \(\left( 0,0,0\right) \)
- \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0,0\right) =\dfrac{\partial f}{
\partial y}\left( 0,0,0\right) =0.\)
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0,0\right) =0.\)
- \(\left\vert H_{2}(f,\left( 0,0,0\right) )\right\vert =0.\)
- \(\left\vert H_{3}(f,\left( 0,0,0\right) )\right\vert =0.\)
Por lo que en el punto \(\left( 0,0,0\right)\), de acuerdo al inciso 4 del Criterio de la Segunda derivada, Teorema 29 el criterio no da información.
En los puntos estacionarios restantes de (\ref{2.3}), tenemos:
\begin{equation*}
\left\vert H_{2}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{cc}
12 & -4z \\
-4z & 12
\end{array}
\right\vert =144-16z^{2}=128>0
\end{equation*}
ya que en cualquiera de ellos, \(z=1\) o \(z=-1.\) Por otra parte, en dichos
puntos:
\begin{eqnarray*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert
&=&\left\vert
\begin{array}{ccc}
12 & -4z & -4y \\
-4z & 12 & -4x \\
-4y & -4x & 12
\end{array}
\right\vert \\
&=& -192x^{2}-128xyz-192y^{2}-192z^{2}+1728 \\
&=& -192\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) -128xyz+1728
\end{eqnarray*}
Si evaluamos en cualquier punto estacionario distinto del origen, tenemos
que
\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \quad \quad \quad\text{ y } \quad \quad \quad xyz=1
\end{equation*}
entonces
\begin{equation*}
\left\vert H_{3}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert =-192\left(
3\right) -128+1728=1024>0.
\end{equation*}
En cualquiera de los puntos estacionarios \(\left( x,y,z\right) \neq \left(
0,0,0\right) ,\) tenemos
- \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right) =\dfrac{\partial f}{
\partial y}\left( x,y,z\right) =0.\)
- \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) =12>0.\)
- \(\left\vert H_{2}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert
=128>0.\)
- \(\left\vert H_{3}\left( f,\left( x,y,z\right) \right) \right\vert
=1024>0.\)
Así que por el primer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29 concluimos que en cada uno de dichos puntos, la función tiene
un mínimo relativo estricto.
El valor de la función en los puntos estacionarios
\begin{equation*}
\left( 1,1,1\right) ,\qquad \left( -1,-1,1\right) ,\qquad \left(
1,-1,-1\right) ,\qquad \text{y}\qquad \left( -1,1,-1\right)
\end{equation*}
es
\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =1+1+1-4=-1.
\end{equation*}
El criterio de la segunda derivada no da información para el punto
estacionario \(\left( 0,0,0\right) \), pues como hemos visto, en este punto el
determinante hessiano es \(0.\) Sin embargo, veremos directamente a partir de
la definición que \(\left( 0,0,0\right) \) es un punto silla; es decir en
cada vecindad de \(\left( 0,0,0\right) \) la función toma un valor mayor y
otro menor que \(f\left( 0,0,0\right) \).
- Al acercarnos a \(\left( 0,0,0\right) \) por los puntos de la forma
\(\left( x,0,0\right) \) con \(x\neq 0\) tenemos
\begin{equation*}
f\left( x,0,0\right) =x^{4}>0=f\left( 0,0,0\right) .
\end{equation*}
- Al acercarnos a \(\left( 0,0,0\right)\) por los puntos de la forma
\(\left( x,x,x\right) \) tenemos
\begin{equation*}
f\left( x,x,x\right) =3x^{4}-4x^{3}.
\end{equation*}
Queremos ver que es posible encontrar valores \(x\neq 0\) para los cuales
\(f\left( x,x,x\right) < f \left( 0,0,0\right) .\) Es decir,
resolvemos
\begin{eqnarray*}
3x^{4}-4x^{3} & < & 0 \\
x^{3}\left( 3x-4\right) & < & 0.
\end{eqnarray*}
Obtenemos 2 casos:
- \(x^{3}>0\) y \(3x-4 < 0,\) entonces,
\begin{equation*}
x>0 \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad x < \dfrac{4}{3},
\end{equation*}
es decir, si
\begin{equation*}
0 < x < \dfrac{4}{3}
\end{equation*}
entonces \( f\left( x,x,x\right) < f\left( 0,0,0\right) .\)
- \(x^{3} < 0\) y \( 3x-4>0.\)
En este caso tenemos
\begin{equation*}
x < 0 \quad \quad \quad \text{y } \quad \quad \quad x > \dfrac{4}{3},
\end{equation*}
lo que es absurdo, por lo que desechamos este caso.
- Así, concluimos que \(\left( 0,0,0\right) \) es un punto silla.