Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 1

Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+2z+4\] y determinar si son máximos, mínimos relativos o puntos silla.

Solución:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden de la función \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right) =2x+y,\quad \quad \quad \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right) =2y+x,\quad \quad \quad \frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right) =2z+2. \end{equation*} Igualamos a cero las derivadas de primer orden para determinar los puntos estacionarios \begin{eqnarray*} 2x+y &=& 0 \\ x+2y &=& 0 \\ 2z+2 &=& 0. \end{eqnarray*} De la tercera ecuación tenemos que \begin{equation*} z=-1. \end{equation*} Despejando \(y\) de la primera ecuación \begin{equation} y=-2x \label{1.1}\tag{1.1} \end{equation} y sustituyendo en la segunda \begin{eqnarray*} x+2\left( -2x\right) &=& 0 \\ -3x &=& 0 \\ x &=& 0. \end{eqnarray*} De (\ref{1.1}) \begin{equation*} y=0. \end{equation*} Así, el punto \(\left( 0,0,-1\right) \) es el único punto estacionario.

Para determinar si el punto \(\left( 0,0,-1\right) \) es un máximo o un mínimo relativo estricto, calculamos las derivadas parciales de segundo orden. \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) =2,\quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) =2, \quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) =2 \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) &=&1=\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}\left( x,y,z\right) &=&\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial z}\left( x,y,z\right) =\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}\left( x,y,z\right) =\dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y\partial z}\left( x,y,z\right) =0. \end{eqnarray*} De donde,

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0,-1\right) =2>0.\)

• \begin{equation*} \left\vert H_{2}\left( f,\left( 0,0,-1\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right\vert =3>0. \end{equation*}
• \begin{equation*} \left\vert H_{3}\left( f,\left( 0,0,-1\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right\vert =6>0. \end{equation*} Así que por el primer inciso del Criterio de la Segunda Derivada, Teorema 29 hay un mínimo relativo estricto en \(\left( 0,0,-1\right) .\)