Coordenadas PolaresAngel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) |
Dibujemos la gráfica de $r=a\theta ,\qquad \theta \geq 0,\qquad a>0.$
En el plano cartesiano $\Theta R$:
Así, $r$ crece a medida que $\theta $ se incrementa, la gráfica de $ r=a\theta $ en el plano $XY$ es:
Consideramos la ecuación \begin{equation*} \log _{b}r=\log _{b}a+k\theta , \end{equation*} aplicamos de ambos lados la función $b^{x},$ entonces \begin{equation*} b^{\log _{b}r}=b^{\log _{b}a+k\theta } \end{equation*} puesto que las funciones \begin{equation*} y=b^{x}\qquad \text{y}\qquad x= \log _{b}y \end{equation*} son inversas, tenemos \begin{eqnarray*} r &=&b^{\log _{b}a+k\theta } \\ &=&b^{\log _{b}a}b^{k\theta } \\ &=&ab^{k\theta }. \end{eqnarray*} Es decir, la ecuación $\log _{b}r=\log _{b}a+k\theta ,$ correspondiente a una espiral logarítmica, es equivalente a $r=ab^{k\theta }.$
Ejemplo
Solución:
En el plano cartesiano $\Theta R$:
Observemos que esta curva no corta el eje $\Theta ,$ entonces en el plano cartesiano $\Theta R$ la curva nunca toca el origen, además es estrictamente creciente, por lo cual se obtiene una espiral cuando dibujamos su gráfica polar.
La gráfica polar de $r=e^{\theta }$ es
La espiral $r=e^{\theta }$ que dibujamos, corresponde al caso $a=1,b=e,k=1.$
Ejemplos
Solución:
Analicemos esta curva. Al igual que en la espiral de Arquímedes, los criterios de simetría no nos dan información.
la gráfica polar es:
Solución:
Dibujamos la gráfica de $r^{2}=\theta ,r < 0$ en el plano cartesiano $ \Theta R$:
En lo que sigue, veremos dos curvas que son muy parecidas en el plano cartesiano $\Theta R$ aunque no lo son en el plano polar.
Ejemplo
Solución:
La gráfica en el plano cartesiano $\Theta R$ de $r^{2}=\dfrac{1}{\theta } ,r>0$ es:
la gráfica en el plano polar es:
Ejemplo
Solución:
En el plano cartesiano $\Theta R$:
la gráfica polar es:
Observamos que para la espiral hiperbólica $r=\dfrac{1}{\theta },$ la ordenada cartesiana de cada uno de sus puntos es de la forma $y=r\ \text{sen}\theta =\dfrac{1}{\theta }\ \text{sen}\theta .$ Cuando $\theta $ se aproxima a cero, tenemos: \begin{equation*} \lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\ \text{sen}\theta }{\theta }=1, \end{equation*} es decir, cuando $\theta $ se acerca a cero, la ordenada cartesiana $y$ se acerca a $1$ y por consiguiente, la gráfica polar de $r=\dfrac{1}{\theta }$ se aproxima a la recta $y=1.$
En cambio, para la espiral hiperbólica $r^{2}=\dfrac{1}{\theta },$ $r>0,$ $\theta >0$, tenemos que como: \begin{equation*} r=\dfrac{1}{\sqrt{\theta }} \end{equation*} entonces \begin{equation*} y=\dfrac{1}{\sqrt{\theta }}\ \text{sen}\theta \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\ \text{sen}\theta }{\sqrt{\theta } } &=&\lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\cos \theta }{\dfrac{1}{2\sqrt{ \theta }}} \\ &=&\lim\limits_{\theta \rightarrow 0}2\sqrt{\theta }\cos \theta \\ &=&0. \end{eqnarray*} Resumiendo, no obstante que las curvas $r=\dfrac{1}{\theta }$ y $r=\dfrac{1}{ \sqrt{\theta }}$ en el plano cartesiano $\Theta R$ son parecidas, sus gráficas polares tienen diferencias más marcadas, que se deben a qué tan rápido crece o decrece la función en cada caso.