Coordenadas Polares

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ecuaciones Polares

Una ecuación polar es una ecuación del tipo \begin{equation*} F\left( r,\theta \right) =0 \end{equation*} donde $F\left( r,\theta \right) $ es una función con valores reales que depende de las variables $r$ y $\theta $.

De la misma manera que los puntos tienen asociadas coordenadas polares y cartesianas, una curva tiene asociada una ecuación polar y una cartesiana, el paso de una a otra se logra mediante el uso de las ecuaciones \begin{equation} x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad \text{sen}\ \theta =\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} ,\qquad \cos \theta =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad x=r\cos \theta ,\qquad y=r\ \text{sen}\ \theta \label{I} \tag{2} \end{equation}

Recordamos que en el sistema de coordenadas polares se usa una semirrecta llamada eje polar, cuyo extremo inicial $O$ es llamado polo. Cuando sobrepongamos los sistemas polar y cartesiano, siempre consideraremos que el eje polar coincide con el semieje positivo $X$ del sistema cartesiano y que el polo está en el origen del sistema $XY.$

Los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen una ecuación polar forman la gráfica polar de dicha ecuación.

Ejemplos

  1. Encuentra la ecuación cartesiana de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es \begin{equation*} r=\dfrac{4}{1-\cos \theta } \end{equation*} Solución:

    En la figura, vemos la gráfica polar de la curva. Para los puntos marcados sobre la curva, vemos en color negro las coordenadas cartesianas y en rojo las polares, correspondientes.

    Utilizando las ecuaciones (\ref{I}), obtenemos la ecuación cartesiana de la curva: \begin{eqnarray*} r\left( 1-\cos \theta \right) &=&4 \\ r-r\cos \theta &=&4 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-x &=&4 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=&x+4 \\ x^{2}+y^{2} &=&x^{2}+8x+16 \\ y^{2} &=&8x+16 \\ y^{2} &=&8\left( x+2\right) . \end{eqnarray*} ésta es la ecuación cartesiana de la parábola horizontal con vértice en el punto de coordenadas $\left( -2,0\right) $ que se muestra en la figura anterior.
  2. Encuentra la ecuación polar de la ecuación cartesiana $y=x+3.$

    Solución:

    Como \begin{eqnarray*} x &=&r\cos \theta \\ y &=&r\ \text{sen}\ \theta , \end{eqnarray*} al sustituir, obtenemos: \begin{equation*} r\ \text{sen}\ \theta =r\cos \theta +3. \end{equation*}

    De donde, \begin{eqnarray*} r\ \text{sen}\ \theta -r\cos \theta &=&3 \\ r\left( \text{sen}\ \theta -\cos \theta \right) &=&3 \\ r &=&\dfrac{3}{ \text{sen}\ \theta -\cos \theta } \end{eqnarray*}

Universidad Nacional Autónoma de México