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Coordenadas Polares
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza, Carlos
Hernández Garciadiego, Emma Lam Osnaya
Instituto de Matemáticas, UNAM; Facultad de Ciencias, UNAM
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Introducción
Comúnmente, localizamos puntos en el plano usando coordenadas
rectangulares, también llamadas cartesianas.
Introducimos aquí un tipo distinto de coordenadas, las
coordenadas polares, éstas nos darán en algunos casos una descripción algebraica más sencilla de regiones del plano acotadas por curvas
planas. Las coordenadas polares son usadas también para evaluar de
manera simple algunas integrales dobles.
Denotaremos las coordenadas polares de un punto por Es nuestra intención asociar a cada punto del plano una pareja y viceversa. Ello lo hacemos de la siguiente
manera:
Tomamos un punto fijo al que llamamos origen o polo y
usando éste como punto inicial trazamos un rayo, usualmente de manera
horizontal y extendiéndose a la derecha a partir del polo, al que
llamaremos eje polar.
(a) Asociación de un punto a una pareja
Para cada pareja de reales consideramos la
semirrecta con origen en , que resulta al girar
el eje polar un ángulo de radianes, si el giro
es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
y si es en el sentido de ese movimiento.
Después completamos a una recta uniéndole un rayo y medimos unidades a partir del origen, si
es positivo sobre y sobre si es negativo; el punto así obtenido, es el asociado a la pareja y lo denotamos por .
Decimos que tiene coordenadas polares o que
son unas coordenadas polares de
(b) Asociación de una pareja a un punto
Recíprocamente, a un punto del plano, distinto de , le
asociamos la pareja donde es la distancia de al origen y es la medida en radianes del ángulo
entre el eje polar y el segmento de recta De acuerdo con (a), son unas coordenadas polares de y son llamadas las
coordenadas polares principales de . Al origen se le asocia
cualquier pareja de la forma con
arbitrario.
Observaciones:
- Hay muchos casos en los que no importa si los ángulos se miden en
grados o radianes. En otros, por ejemplo para deducir las fórmulas de
derivación de las funciones trigonométricas, es necesario usar
radianes. En lo que sigue usaremos radianes para medir los ángulos.
- Una infinidad de parejas tienen asociado el
mismo punto en el plano mediante el procedimiento indicado en (a). Esto es
evidente puesto que los ángulos y determinan el mismo rayo; es decir, . Así por ejemplo son coordenadas
polares para un mismo punto.
- La dirección contraria a la dada por el valor está
determinada por , es decir, y .
Entonces las parejas y son dos coordenadas polares del mismo punto.
- Sea un punto en el plano con coordenadas polares entonces cualesquiera otras coordenadas de son de la forma
En efecto, por (2) y son coordenadas polares de y por (3), y son coordenadas
polares del mismo punto, es decir de
- Como ya vimos, para cualquier punto en el plano, podemos encontrar
coordenadas polares de tal manera que y (las coordenadas principales). Sin
embargo, también es cierto que todo punto tiene coordenadas polares con y En efecto si son las coordenadas principales de y entonces y y
En general, podemos escoger en cualquier intervalo de longitud Como veremos más adelante, dependiendo del problema, elegiremos
entre estos intervalos el que resulte más adecuado.
Relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y
polares
Con frecuencia es útil usar coordenadas polares y cartesianas en un
mismo problema. En ese caso se hace coincidir el origen y el eje
positivo del sistema de coordenadas rectangulares con el polo y el eje
polar, respectivamente.
Así, si es un punto arbitrario distinto del origen y, y
son las coordenadas
rectangulares y polares principales de , deducimos de la figura las
siguientes relaciones:
De donde, si conocemos las coordenadas polares de un punto, entonces sus coordenadas cartesianas son:
Inversamente, si conocemos as coordenadas cartesianas del punto, entonces
Las coordenadas polares principales son
y
donde usamos la función . Lo anterior se debe a que si y si
Observación Pudiera parecer que las relaciones
sólo se satisfacen si son las coordenadas
polares principales del punto de coordenadas cartesianas
, pero esto no es así, sino que son satisfechas por cualesquiera de las
coordenadas polares del punto. En efecto, si son unas coordenadas polares de y
son sus coordenadas polares principales,
entonces o bien, con . En cada caso
tenemos:
o bien,
Ejemplos
- Encuentra las coordenadas polares principales del punto cuyas
coordenadas rectangulares son
Solución:
Puesto que
utilizando la relación entre las coordenadas polares y cartesianas,
tenemos
así
y
de donde
Puesto que está en el segundo cuadrante
hay que sumar al ángulo arriba obtenido (ver ()).
Por tanto,
- Encuentra las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas
polares
Solución:
Tenemos
De acuerdo con la observación sobre la relación entre las coordenadas
polares y rectangulares, obtenemos
de donde, son la coordenadas
rectangulares del punto.
- Dibuja en el plano cartesiano el punto y el que
tiene coordenadas polares
Solución:
Localizamos primero el punto
Encontraremos ahora las coordenadas cartesianas del punto :
además
entonces
de donde
es decir, se trata del mismo punto. Entonces las coordenadas polares del
punto son .
Ejercicios
Ubicar en el plano a los puntos con las siguientes coordenadas polares.
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Hallar las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en
coordenadas polares y ubicarlos en el plano.
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Dar las coordenadas polares de los puntos con las siguientes coordenadas
cartesianas
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- ¿Dónde están en el plano los puntos con
coordenadas polares de la forma con ?
- Demuestra que la distancia entre dos puntos y dados en coordenadas
polares es
- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas polares son:
- y
- y
- y
- y
- Dibujar las regiones dadas por las siguientes desigualdades.
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