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Coordenadas Polares
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
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Concoides de Nicomedes
Nos referimos ahora a una familia de curvas llamadas concoides de Nicómedes,
las cuales tienen por ecuación polar:
\begin{equation*}
r=a+b\sec \theta ,\qquad a,b\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
Claramente éstas son simétricas con respecto al eje $X.$
El nombre de estas curvas se debe a que se asemejan a una concha.
Ahora analizamos el caso en que $a,b>0.$
Dibujemos en el plano cartesiano $\Theta R$ la gráfica de $r=b\sec
\theta $, en el intervalo $\left[ 0,2\pi \right] $:
Así, la gráfica cartesiana de $r=a+b\sec \theta $ es:
- Si $a=b$
- Si $a>b$
- Si $a < b$
Como en los ejemplos anteriores, sustituyendo $r=a+b\sec \theta $ en la
coordenada cartesiana $y=r\ \text{sen}\ \theta $ de un punto de la concoide
tenemos:
\begin{eqnarray*}
y &=&\left( a+b\sec \theta \right) \ \text{sen}\ \theta \\
&=&a\ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta
\end{eqnarray*}
Analizaremos el comportamiento de $y$ cuando $\theta $ se aproxima a $\dfrac{
\pi }{2}$ y $\dfrac{3\pi }{2}$ por la derecha y por la izquierda
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\left( a\ \text{sen}\
\theta +b\tan \theta \right) &=&+\infty =\lim\limits_{\theta \rightarrow
\frac{3\pi }{2}^{+}}\left( a\ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right) \\
\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^{+}}\left( a\ \text{sen}\
\theta +b\tan \theta \right) &=&-\infty =\lim\limits_{\theta \rightarrow
\frac{3\pi }{2}^{-}}\left( a\ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right)
\end{eqnarray*}
Ahora analizaremos el comportamiento de la coordenada cartesiana $x=r\cos
\theta $ de un punto de la concoide cuando $\theta $ se aproxima a $\dfrac{
\pi }{2}$ y $\dfrac{3\pi }{2}.$
\begin{eqnarray*}
x &=&r\cos \theta \\
&=&\left( a+b\sec \theta \right) \cos \theta \\
&=&a\cos \theta +b
\end{eqnarray*}
y
\begin{equation*}
\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}}\left( a\cos \theta +b\right)
=b=\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{3\pi }{2}}\left( a\cos \theta
+b\right)
\end{equation*}
La gráfica polar de la concoide $r=a+b\sec \theta $ es:
- Si $a=b$:
- Si $a>b$:
- Si $a < b$:
Ejercicios
Dibuja las gráficas de las siguientes ecuaciones.
- $r=3+2\sec \theta .$
- $r=1+\sec \theta .$
- $r=1+4\sec \theta .$
- $r=1-3\sec \theta .$
- $r=5-2\sec \theta .$
- $r=6-6\sec \theta .$
Universidad Nacional Autónoma de México