Coordenadas Polares Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Concoides de Nicomedes

El nombre de estas curvas se debe a que se asemejan a una concha.

Ahora analizamos el caso en que \(a,b>0. \)

Dibujemos en el plano cartesiano \(\Theta R \) la gráfica de \(r=b\sec \theta \), en el intervalo \(\left[ 0,2\pi \right] \):

Así, la gráfica cartesiana de \(r=a+b\sec \theta \) es:

1. Si \(a=b \)
   
2. Si \(a>b \)
   
3. Si \(a < b \)
   

Como en los ejemplos anteriores, sustituyendo \(r=a+b\sec \theta \) en la ecuación cartesiana \(y= r \ \text{sen}\ \theta \) de un punto de la concoide tenemos: \begin{eqnarray*} y & = & \left( a+b\sec \theta \right) \text{sen}\ \theta \\ & = & a \ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \end{eqnarray*} Analizaremos el comportamiento de \(y \) cuando \(\theta \) se aproxima a \(\dfrac{ \pi }{2} \) y \(\dfrac{3\pi }{2} \) por la derecha y por la izquierda \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\left( a \ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right) & = & +\infty =\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{3\pi }{2}^{+}}\left( a \ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right) \\ \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^{+}}\left( a \ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right) & = & -\infty =\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{3\pi }{2}^{-}}\left( a \ \text{sen}\ \theta +b\tan \theta \right) \end{eqnarray*} Ahora analizaremos el comportamiento de la coordenada cartesiana \(x=r\cos \theta \) de un punto de la concoide cuando \(\theta \) se aproxima a \( \dfrac{\pi }{2} \) y \(\dfrac{3\pi }{2}. \) \begin{eqnarray*} x &=&r\cos \theta \\ &=&\left( a+b\sec \theta \right) \cos \theta \\ &=&a\cos \theta +b \end{eqnarray*} y \begin{equation*} \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}}\left( a\cos \theta +b\right) =b=\lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{3\pi }{2}}\left( a\cos \theta +b\right) \end{equation*} La gráfica polar de la concoide \(r=a+b\sec \theta \) es:

Si \(a=b \):

Si \(a>b \):

Si \(a < b \):

Ejercicios

1. \(r=a\theta \qquad a>0, \) \(\theta \leq 0 \)
2. \(r=2\theta \qquad \theta \geq 0 \)
3. \(r=3\theta \qquad \theta \leq 0 \)
4. \(r=3e^{\theta } \)
5. \(r=5\left( 3^{\theta }\right) \)
6. \(r=2^{3\theta } \)
7. \(r=2e^{-2\theta } \)
8. \(r=3+2\sec \theta \)
9. \(r=1+\sec \theta \)
10. \(r=\dfrac{2}{\theta } \)
11. \(r^{2}=4\theta \qquad r>0 \)
12. \(r^{2}=\dfrac{3}{\theta } \)