Coordenadas Polares

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza$^2$, Carlos Hernández Garciadiego$^1$, Emma Lam Osnaya$^2$

$^1$ Instituto de Matemáticas, UNAM; $^2$ Facultad de Ciencias, UNAM

Círculos

Los círculos más simples son aquellos cuyo centro es el origen y radio $a>0,$ los cuales tienen ecuación: \begin{equation*} x^{2}+y^{2}=a^{2} \end{equation*} Sustituyendo $x=r\cos \theta $ y $y=r \ \text{sen}\ \theta $ tenemos \begin{eqnarray*} \left( r\cos \theta \right) ^{2}+\left( r \ \text{sen}\ \theta \right) ^{2} &=&a^{2} \\ r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2} \ \text{sen}^{2}\theta &=&a^{2} \\ r^{2}\left( \cos ^{2}\theta + \ \text{sen}^{2}\theta \right) &=&a^{2} \\ r^{2} &=&a^{2} \\ r &=&a \end{eqnarray*} Analizaremos ahora el caso general.

La ecuación de un círculo con centro en $\left( x_{0},y_{0}\right) $ y radio $a>0$ es: \begin{equation} \left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}=a^{2} \label{circcart} \tag{4} \end{equation} es decir, \begin{equation*} x^{2}+y^{2}-2xx_{0}-2yy_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2} \end{equation*} Sean $x=r\cos \theta $, $y=r \ \text{sen}\ \theta $ y consideremos las coordenadas polares $\left( r_{0},\theta _{0}\right) $ del centro $\left( x_{0},y_{0}\right) .$ Entonces \begin{eqnarray*} x_{0} &=&r_{0}\cos \theta _{0} \\ y_{0} &=&r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0} \end{eqnarray*}

Sustituyendo, la ecuación se transforma en: \begin{eqnarray*} r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2} \ \text{sen}^{2}\theta -2rr_{0}\cos \theta \cos \theta _{0}-2rr_{0} \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \theta _{0}+r_{0}^{2}\cos ^{2}\theta _{0}+r_{0}^{2} \ \text{sen}^{2}\theta _{0} &=&a^{2} \\ r^{2}\left( \cos ^{2}\theta + \ \text{sen}^{2}\theta \right) -2rr_{0}\left( \cos \theta \cos \theta _{0}+ \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \theta _{0}\right) +r_{0}^{2}\left( \cos ^{2}\theta _{0}+ \ \text{sen}\ ^{2}\theta _{0}\right) &=&a^{2} \\ r^{2}-2rr_{0}\cos \left( \theta -\theta _{0}\right) +r_{0}^{2} &=&a^{2} \end{eqnarray*} Así, \begin{equation} r^{2}-2rr_{0}\cos \left( \theta -\theta _{0}\right) +r_{0}^{2}=a^{2} \label{circpolar} \tag{5} \end{equation} es la ecuación polar del círculo con centro en $\left( r_{0},\theta _{0}\right) $ y radio $a$. Podemos observar que para cada punto $\left( x,y\right) $, esta fórmula coincide con la ley de los cosenos para el triángulo con vértices $\left( 0,0\right) $, $\left( x_{0},y_{0}\right) $ y $\left( x,y\right) .$

En general, la ecuación (\ref{circpolar}) es poco usada y la razón es, por supuesto, que la ecuación cartesiana (\ref{circcart}) que le corresponde es mucho más sencilla.

Veamos ahora algunos casos que sí aparecen frecuentemente.

Si el círculo tiene centro en el eje $X$ y radio $a>0$,

entonces la ecuación es \begin{eqnarray*} \left( x-x_{0}\right) ^{2}+y^{2} &=&a^{2} \\ x^{2}-2xx_{0}+x_{0}^{2}+y^{2} &=&a^{2}. \end{eqnarray*} Sean $x=r\cos \theta $, $y=r \ \text{sen}\ \theta ,$ $x_{0}=r_{0}\cos \theta _{0}$ y $y_{0}=r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}.$ Sustituimos en la ecuación anterior, entonces \begin{equation*} r^{2}\cos ^{2}\theta -2rr_{0}\cos \theta \cos \theta _{0}+r_{0}^{2}\cos ^{2}\theta _{0}+r_{0}^{2} \ \text{sen}^{2}\theta _{0}=a^{2} \end{equation*} como \begin{eqnarray*} \left( x-x_{0}\right) ^{2}+y^{2} &=&a^{2} \\ x^{2}-2xx_{0}+x_{0}^{2}+y^{2} &=&a^{2}. \end{eqnarray*} y \begin{equation*} \ \text{sen}^{2}\theta _{0}=0, \end{equation*} entonces la ecuación polar del círculo es \begin{equation*} r^{2}-\left( 2rr_{0}\cos \theta \right) \left( \pm 1\right) +r_{0}^{2}=a^{2}, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \begin{array}{ll} r^{2}-2rr_{0}\cos \theta +r_{0}^{2}=a^{2} & \text{si} \ x_{0} > 0 \\ r^{2}+2rr_{0}\cos \theta +r_{0}^{2}=a^{2} & \text{si} \ x_{0} < 0 \end{array} \end{equation*} Si además el círculo pasa por el origen, entonces $r_{0}=a$ en cuyo caso la ecuación se simplifica todavía más \begin{equation*} r^{2}-\left( 2ar\cos \theta \right) \left( \pm 1\right) =0 \end{equation*} lo cual podemos escribir como \begin{equation*} \begin{array}{ll} r=2a\cos \theta & \text{si el centro está en la parte positiva del eje} \ X \\ r=-2a\cos \theta & \text{si el centro está en la parte negativa del eje} \ X \end{array} \end{equation*}
Si el círculo tiene centro en el eje $Y$ y radio $a>0.$

las coordenadas polares para el centro $\left( 0,y_{0}\right) $ son: \begin{equation*} \left( r_{0},\theta _{0}\right) =\left\{ \begin{array}{ll} \left( y_{0},\dfrac{\pi }{2}\right) & \text{si} \ y_{0}\geq 0 \\ \left( -y_{0},\dfrac{3\pi }{2}\right) & \text{si} \ y_{0} < 0 \end{array} \right. \end{equation*} La ecuación polar del círculo es \begin{equation*} r^{2}-2rr_{0}\cos \left( \theta -\theta _{0}\right) +r_{0}^{2}=a^{2} \end{equation*} como \begin{equation*} \cos \left( \theta -\theta _{0}\right) =\cos \theta \cos \theta _{0}+ \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \theta _{0} \end{equation*} y puesto que \begin{equation*} \cos \dfrac{\pi }{2}=\cos \dfrac{3\pi }{2}=0,\qquad \ \text{sen}\ \dfrac{\pi }{2}=1\qquad \text{y }\qquad \ \text{sen}\ \dfrac{3\pi }{2}=-1 \end{equation*} la ecuación en este caso es: \begin{equation*} r^{2}-\left( 2rr_{0} \ \text{sen}\ \theta \right) \left( \pm 1\right) +r_{0}^{2}=a^{2} \end{equation*} es decir \begin{equation*} \begin{array}{ll} r^{2}-2rr_{0}\text{sen}\ \theta +r_{0}^{2}=a^{2} & \text{si} \ y_{0} > 0 \\ r^{2}+2rr_{0}\text{sen}\ \theta +r_{0}^{2}=a^{2} & \text{si} \ y_{0} < 0 \end{array} \end{equation*} Nuevamente se obtiene una ecuación más sencilla si el círculo pasa por el origen. Así $r_{0}=a$ en cuyo caso la ecuación es \begin{equation*} r^{2}-\left( 2ar \ \text{sen}\ \theta \right) \left( \pm 1\right) =0 \end{equation*} es decir, \begin{equation*} \begin{array}{ll} r=2a\ \text{sen}\ \theta & \text{si el centro es el origen o está en la parte positiva del eje} \ Y \\ r=-2a\ \text{sen}\ \theta & \text{si el centro está en la parte negativa del eje} \ Y \end{array} \end{equation*}

Ejemplos

Dibujar la gráfica de la curva $r=-5 \ \text{sen}\ \theta .$
Solución:
La ecuación es de la forma $r=-2a \ \text{sen}\ \theta ,$ entonces es un círculo que pasa por el origen, su centro está en la parte negativa del eje $Y.$
Como \begin{eqnarray*} 2a &=&5 \\ a &=&\dfrac{5}{2} \end{eqnarray*} es decir, el radio es igual a $\dfrac{5}{2}$ y el centro está en $\left( 0,-\dfrac{5}{2}\right) .$
Dibujar la gráfica del círculo dado por la ecuación \begin{equation*} r^{2}-2r\left( \cos \theta + \ \text{sen}\ \theta \right) -2=0 \end{equation*}
Solución:
Tratemos de llevar esta ecuación a la forma general \begin{equation*} r^{2}-2rr_{0}\cos \left( \theta -\theta _{0}\right) +r_{0}^{2}=a^{2} \end{equation*} Queremos encontrar $r_{0}>0$ y $0\leq \theta _{0} < 2\pi $ tales que \begin{equation*} r_{0}^{2}-a^{2}=-2 \end{equation*} y \begin{equation*} r_{0}\cos \left( \theta -\theta _{0}\right) =\cos \theta + \ \text{sen}\ \theta \end{equation*} Analicemos la segunda igualdad. Como \begin{equation*} \cos \left( \theta -\theta _{0}\right) =\cos \theta \cos \theta _{0}+ \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \theta _{0}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} r_{0}\left( \cos \theta \cos \theta _{0}+ \ \text{sen}\ \theta \ \text{sen}\ \theta _{0}\right) =\cos \theta + \ \text{sen}\ \theta , \end{equation*} de donde \begin{equation*} \left( r_{0}\cos \theta _{0}-1\right) \cos \theta +\left( r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}-1\right) \ \text{sen}\ \theta =0. \end{equation*} Puesto que la igualdad anterior debe cumplirse para cualquier valor $\theta , $ en particular tenemos:
Eligiendo $\theta =0$: \begin{equation*} \left( r_{0}\cos \theta _{0}-1\right) \cos 0+\left( r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}-1\right) \ \text{sen}\ 0=0, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} r_{0}\cos \theta _{0}-1=0 \end{equation*} y tomando $\theta =\dfrac{\pi }{2}$: \begin{equation*} \left( r_{0}\cos \theta _{0}-1\right) \cos \dfrac{\pi }{2}+\left( r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}-1\right) \ \text{sen}\ \dfrac{\pi }{2}=0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}-1=0. \end{equation*} Así, \begin{equation*} r_{0}\cos \theta _{0}=1\qquad \text{y} \qquad r_{0} \ \text{sen}\ \theta _{0}=1, \end{equation*} igualando tenemos que \begin{equation*} \ \text{sen}\ \theta _{0}=\cos \theta _{0} \end{equation*} considerando $0\leq \theta _{0} < 2\pi $ obtenemos \begin{equation*} \theta _{0}=\frac{\pi }{4}\qquad \text{o} \qquad \theta _{0}=\frac{5\pi }{4}. \end{equation*} Entonces \begin{equation*} \cos \theta _{0}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \ \text{sen}\ \theta _{0}, \end{equation*} de donde \begin{equation*} r_{0}=\pm \sqrt{2}. \end{equation*} Puesto que buscamos $r_{0}>0$ \begin{equation*} r_{0}=\sqrt{2}. \end{equation*} Y como \begin{equation*} r_{0}^{2}-a^{2}=-2, \end{equation*} Sustituyendo los valores de $r_{0}$ tenemos \begin{eqnarray*} 2-a^{2} &=&-2 \\ a^{2} &=&4 \\ a &=&2. \end{eqnarray*} Así, \begin{equation*} r_{0}=\sqrt{2},\qquad \theta _{0}=\frac{\pi }{4}\qquad \text{y}\qquad a=2. \end{equation*} Observa que la otra posibilidad \begin{equation*} r_{0}=-\sqrt{2},\qquad \theta _{0}=\frac{5\pi }{4} \qquad \text{y} \qquad a=2 \end{equation*} da como resultado el mismo círculo, entonces \begin{eqnarray*} x_{0} &=&\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =1 \\ y_{0} &=&\sqrt{2} \ \text{sen}\ \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2 }}\right) =1 \end{eqnarray*} es decir, es un círculo con centro en $\left( 1,1\right) $ y radio $2.$

Ejercicios

En cada caso, decir si se trata de una recta o un círculo. Especificar qué clase de recta o de círculo es y dibujar su gráfica.

$r \ \text{sen}\ \theta =-1.$
$r=3.$
$r=-\dfrac{3}{2}\cos \theta .$
$r\cos \theta =3.$
$r^{2}-6r\cos \left( \theta -\dfrac{\pi }{2}\right) =16.$
$r=\dfrac{4}{\cos \theta - \ \text{sen}\ \theta }.$
$\theta =\dfrac{5\pi }{4}.$
$r=\sqrt{3}.$
$r=3\cos \theta .$
$\theta =\dfrac{5\pi }{6}.$
$r\left( \ \text{sen}\ \theta -\dfrac{\cos \theta }{\sqrt{2}}\right) =-5.$
$r^{2}-\dfrac{r}{2}\left( \cos \theta +\sqrt{3} \ \text{sen}\ \theta \right) -\dfrac{15}{4}=0.$
Hallar la ecuación en coordenadas polares del círculo que tiene centro y radio dados por
centro $\left( 4,\dfrac{\pi }{3}\right) ,$ radio $5.$
centro $\left( 2,\dfrac{\pi }{6}\right) ,$ radio $\sqrt{2}.$
centro $\left( -1,\dfrac{5\pi }{4}\right) ,$ radio $2.$
centro $\left( 3,0\right) ,$ radio $3.$

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Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

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