Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Problemas de Máximos y Mínimos usando Multiplicadores de Lagrange con dos Restricciones

Ejemplo 2 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \( 2z=-\left( x+2\right) ^{2}-\left( y-2\right) ^{2}\) con el plano \(x-y-z=-1.\)

Ejemplo 3 Un prisma rectangular tiene una superficie total de \(468\) cm\(^{2}\) y la suma de las longitudes de sus aristas es \(108\) cm. Encuentra el prisma con volumen máximo y el de volumen mínimo.

Ejemplo 4 Encuentra los puntos que están en la intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+z=9\) y el plano \(x+y=3\) tales que el cuadrado de su distancia al origen sea mínima o máxima.

Ejemplo 5 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(z=x^{2}+y^{2}\) con \( x^{2}+2y=z.\)

Ejemplo 6 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del hiperboloide de una hoja \( x^{2}+y^{2}-16=z^{2}\) con el paraboloide \(16-x^{2}-y^{2}=z.\)

Ejemplo 7 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \( 6x+2z=8.\)

Ejemplo 8 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =6x^{2}+y^{2}+2z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 9 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 10 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 11 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =z \end{equation*} sobre la intersección de \(z^{3}-x^{2}=0\) con \(z^{3}-y^{2}=0.\)

Observaciones

En los problemas 9 y 11 obtuvimos puntos que eran parte de las soluciones del sistema lagrangiano y en los que los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes. En el primer problema, la función tiene un punto silla en el punto en cuestión y en el segundo la función tiene un mínimo absoluto. O sea, cuando los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes en un punto que es parte de la solución del sistema lineal lagrangiano, entonces no podemos afirmar qué sucede en dicho punto. Esto prueba que la condición de la independencia lineal de los gradientes de las restricciones es una hipótesis esencial en el teorema del Hessiano limitado.

En el último problema, hay un punto donde se alcanza un valor mínimo absoluto en el que los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes y que no es solución del sistema lineal lagrangiano.

Esto prueba que la condición de la independencia lineal de los gradientes de las restricciones es una hipótesis esencial en el teorema de Lagrange