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Lugares Geométricos
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
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Consideremos el eje $X$ y una recta $\ell$ de pendiente $m$ que corta el
eje $X$ en el origen $O\left( 0,0\right)$.
Dado un triángulo cuyo uno
de sus vértices está en el eje $X$, el segundo está sobre la
recta de pendiente $m$ y el tercero que no esté ni en el eje ni en la recta la recta $\ell,$ trazamos por cada uno de los vértices rectas
paralelas al eje $X$ y a la recta dada.
Consideramos los 3 paralelogramos
cada uno de los cuales tiene como una de sus diagonales a uno de los lados
del triángulo.
Demostrar que las rectas que contienen a las otras
diagonales de los paralelogramos se cortan en un punto.
Dadas tres rectas paralelas $AB,$ $A_{1}B_{1}$ y $A_{2}B_{2}$ y paralelas al
eje $X,$ trazamos las rectas $AA_{2}$ y $BB_{2}$ se cortan en $C$ an álogamente
$AA_{1}$ y $BB_{1}$ que se cortan en el punto $D$ y las rectas $A_{1}A_{2}$ y $B_{1}B_{2}$ en $E$.
Probar que los puntos $C,$ $D$ y $E$ son
colineales.T1E4p6.
Consideremos el triángulo rectángulo $OAB,$ donde $O$ es el origen, $
A\left( a,0\right) $ y $B\left( 0,b\right) .$ Construimos los cuadrados $ODCA
$ y $OBEF$ que tienen uno de sus lados los catetos del triángulo.
Consideramos la altura desde el vértice $O$ y llamamos $H$ al punto en
el que ésta corta a la hipotenusa. Probar que los puntos $I$ de
intersección de las rectas $EF$ y $CD$, y $M$ de intersección de las
rectas $AE$ y $BC$ están sobre la altura $OH.$
Encontrar el lugar geométrico del vértice del ángulo recto
de un triángulo rectángulo si los extremos de la hipotenusa se
deslizan sobre los ejes coordenados.
Sean $A,$ $B$ dos puntos fijos y $C$ un punto variable en el eje $X.$
Trazar la recta $AC$ y llamar $D$ al punto de intersección de esta recta
con el eje $Y.$
Trazar la recta $\ell $ paralela a la recta $AB$ por el
punto $D.$
Trazar la recta que une $C$ con $B$ y llamar $M$ al punto donde
se corta esta recta con $\ell .$
Encontrar el lugar geométrico generado
por $M$ conforme se mueve $C.$ T1E2539
Consideramos un punto $A$ sobre el semieje positivo $X$ y fuera del círculo
con centro en el origen y radio $R$. Trazamos la recta en el
plano superior $AC$ tangente al círculo en $C.$
Probar que la proyección
del origen sobre la bisectriz del ángulo $OAC$ conforme $A$ se
desplaza sobre el semieje positivo está en la recta $y=\dfrac{R}{2}.$
Sean $BAC$ y $BDA$ dos triángulos equiláteros con el lado $AB$
en común. Se prolongan los lados $BC$ y $AC$, y se considera una recta
que pase por $D,$ llamamos $E$ a la intersección de esta recta con la
prolongación de $BC$ y $F$ a la intersección con la prolongación
del lado $AC.$
Encontrar el lugar geométrico del punto $M$ de intersección de $BF$ con $EA.$ T1E27p42
Sean $C$ un círculo con centro en $O$ y radio $R,$ y $P$ un punto
en el interior de $C.$ Se trazan dos rectas perpendiculares $PA$ y $PB$ que
pasen por $P,$ donde $A$ y $B$ son los puntos de intersección de dichas
rectas con el círculo $C.$
Sean $A\left( a,0\right) $ y $B\left( -a,0\right) $ dos puntos en el
eje $X.$ Trazamos dos rectas perpendiculares al eje $X$, una por $A$ y la
otra por $B.$ En dichas rectas elegimos $A^{\prime }\left( a,c\right) $ y $
B^{\prime }\left( -a,d\right) $ tales que $AA^{\prime }\cdot BB^{\prime
}=AB^{2}.$ Trazamos las rectas $AB^{\prime }$ y $A^{\prime }B$ y llamamos $M$
al punto de interseción.
Encontrar el lugar geométrico del punto $M$
y demostrar que la recta que pasa por $M$ y la intersección $P$
del eje $X$ y la recta $A^{\prime }B^{\prime }$ corta al lugar geométrico sólo en $M.$
Encontrar el lugar geométrico de los centros $M$ de los círculos
que cortan a dos círculos dados en puntos diametralmente
opuestos.
Encontrar el lugar geométrico del punto $M$ de intersección de
la polar de un punto fijo $P\left( \gamma ,\beta \right) ,$ con respecto a
los círculos que pasan por dos puntos fijos $A\left( a,0\right) $ y $
B\left( -a,0\right) ,$ con el segmento que une a $P\left( \gamma ,\beta
\right) $ con el centro del círculo. T1E31p49
Dadas dos rectas fijas $RR^{\prime }$ y $SS^{\prime }$ que se cortan
en el punto $O$ y en el plano de estas dos rectas se mueve una tercera recta
$PQ$ de longitud variable de manera que el triángulo $POQ$ formado por
las tres rectas tenga área constante. En el punto $P$ donde la recta $PQ$
corta a la recta $RR^{\prime }$ se traza una perpendicular a $RR^{\prime }$
y en el punto $Q$ donde la recta $PQ$ corta a la recta $SS^{\prime }$ se
traza una perpendicular a $SS^{\prime }.$
Encontrar el lugar geométrico
descrito por el punto $M,$ de intersección de estas dos rectas
perpendiculares.
Consideremos un triángulo con vértices $A,B$ y $A^{\prime }.$
Tomemos una recta que pasa por $O,$que corta a los lados $AB$ y $A^{\prime }B
$ del triángulo en los puntos $C$ y $C^{\prime }$ respectivamente.
Encontrar el lugar geométrico del punto $M$ distinto de $O,$ de
intersección de los círculos circunscritos a los triángulos $OAC
$ y $OA^{\prime }C^{\prime }.$ T1E32p50
Referencias
- Géométrie Analytique, E. Monsat, Paris, Librairie Nony & Cie, 1897
- Geolab, http://newton.matem.unam.mx/geolab