Integrales Triples Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Regiones en el espacio

Describe la región \(W \) limitada por el paraboloide \(z=x^{2}+y^{2} \) con \(z\in \left[ 0,9\right] \) como una región del tipo II.

Solución:

Si consideramos \(x=0 \) en la ecuación, tenemos \(z=y^{2} \) es decir, una parábola con vértice en el origen. La proyección de \(W \) sobre \(YZ \) es

Así, la región \(D \) en el plano \(YZ \) es una región de tipo 3. Si escribimos \(D \) como de tipo 1 en el plano \(YZ \) , tenemos: \begin{equation*} D=\left\{ \left( y,z\right) \,\left\vert \,-3\leq y\leq 3,\quad y^{2}\leq z\leq 9\right. \right\} . \end{equation*} La región \(W \) es \begin{eqnarray*} W &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \,\left\vert \,\left( y,z\right) \in D,\quad -\sqrt{z-y^{2}}\leq x\leq \sqrt{z-y^{2}}\right. \right\} \\ &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \,\left\vert \,-3\leq y\leq 3,\quad y^{2}\leq z\leq 9,\quad -\sqrt{z-y^{2}}\leq x\leq \sqrt{z-y^{2}}\right. \right\} . \end{eqnarray*} Si escribimos \(D \) como de tipo \(2 \) en el plano \(YZ, \) tenemos: \begin{equation*} D=\left\{ \left( y,z\right) \,\left\vert \,0\leq z\leq 9,\quad -\sqrt{z}\leq y\leq \sqrt{z}\right. \right\} . \end{equation*} En cuyo caso la región \(W \) es \begin{eqnarray*} W &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \,\left\vert \,\left( y,z\right) \in D,\quad -\sqrt{z-y^{2}}\leq x\leq \sqrt{z-y^{2}}\right. \right\} \\ &&\left\{ \left( x,y,z\right) \,\left\vert \,\,0\leq z\leq 9,\quad -\sqrt{z} \leq y\leq \sqrt{z},\quad -\sqrt{z-y^{2}}\leq x\leq \sqrt{z-y^{2}}\right. \right\} . \end{eqnarray*}