Integrales Dobles Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Cambio de variables

Otras transformaciones

Solución:

La región \( D \) en el plano \(XY\) sobre la que hay que integrar es

Para esto consideramos la transformación inversa \(L^{-1} \), cuya matriz asociada es la inversa de la de \(L \)

Así, \begin{equation*} L^{-1}\left( x,y\right) =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) , \end{equation*} es decir, \begin{equation*} L^{-1}\left( x,y\right) =\left( \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}y,-\dfrac{2}{3}x+ \dfrac{1}{3}y\right) , \end{equation*} o sea \begin{eqnarray*} u &=&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}y \\ v &=&-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}y, \end{eqnarray*} de donde: \begin{eqnarray*} \ L^{-1}\left( 1,5\right) &=&\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3}+ \dfrac{5}{3}\right) =\left( 2,1\right) \\ L^{-1}\left( 5,13\right) &=&\left( \dfrac{5}{3}+\dfrac{13}{3},-\dfrac{10}{3}+ \dfrac{13}{3}\right) =\left( 6,1\right) \\ L^{-1}\left( 2,16\right) &=&\left( \dfrac{2}{3}+\dfrac{16}{3},-\dfrac{4}{3}+ \dfrac{16}{3}\right) =\left( 6,4\right) \\ L^{-1}\left( -2,8\right) &=&\left( -\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3}+ \dfrac{8}{3}\right) =\left( 2,4\right) . \end{eqnarray*} Entonces \(D\) proviene del rectángulo \(D_{1}\) que tiene estos vértices y que se indica en la figura siguiente

Ejemplos

1. Calcular la integral \(\iint_{D}xy\,dx\,dy\) donde \(D\) es la región del primer cuadrante acotada por las rectas \(y=x\) y \(y=3x,\) y las parábolas \(y=x^{2}\) y \(y=2x^{2},\) haciendo el cambio de variables \(u= \dfrac{y}{x^{2}},v=\dfrac{y}{x}. \)

   Solución:

   La región es:

    

   

    

   Llamamos \(L\) a la transformación del plano \(UV\) al plano \(XY, \) la cual es tal que su inversa está definida en \(D\subset \left\{ \left. \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert x\neq 0\text{ y }y\neq 0\right\} \) como \begin{equation*} L^{-1}\left( x,y\right) =\left( \dfrac{y}{x^{2}},\dfrac{y}{x}\right) =\left( u,v\right) \end{equation*} Para encontrar la región en el plano \(UV\) la cual tiene como imagen la región \(D\) aplicamos \(L^{-1}\) a la frontera de la región \(D \):

   La recta \(y=x\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(v=1 \), ya que las siguientes ecuaciones son equivalentes \begin{eqnarray*} y &=&x \\ \dfrac{y}{x} &=&1 \\ v &=&1. \end{eqnarray*} La recta \(y=3x\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(v=3 \), ya que las siguientes ecuaciones son equivalentes \begin{eqnarray*} y &=&3x \\ \dfrac{y}{x} &=&3 \\ v &=&3. \end{eqnarray*} La parábola \(y=x^{2}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(u=1 \), ya que las siguientes ecuaciones son equivalentes \begin{eqnarray*} y &=&x^{2} \\ \dfrac{y}{x^{2}} &=&1 \\ u &=&1. \end{eqnarray*} La parábola \(y=2x^{2}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(u=2 \), ya que las siguientes ecuaciones son equivalentes \begin{eqnarray*} y &=&2x^{2} \\ \dfrac{y}{x^{2}} &=&2 \\ u &=&2. \end{eqnarray*} Es decir, \(D\) proviene del rectángulo \(D_{1}\) en el plano \(UV\) que está limitado por las rectas \(v=1,v=3,u=1\) y \(u=2.\)

    

   

    

   Para calcular la integral debemos encontrar el jacobiano de la transformación \(L,\) inversa de \(L^{-1} \). La regla de correspondencia de \(L:D\subset \left\{ \left. \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert x\neq 0\text{ y }y\neq 0\right\} \longrightarrow D_{1}\) es: \begin{eqnarray*} u &=&\dfrac{y}{x^{2}} \\ v &=&\dfrac{y}{x}. \end{eqnarray*} Despejamos \(y\) de ambas ecuaciones: \begin{eqnarray} x^{2}u &=&y \notag \\ xv &=&y, \label{1} \tag{1} \end{eqnarray} de donde, \begin{equation*} x^{2}u=xv. \end{equation*} Como todo punto de \(D\) tiene abscisa \(x\neq 0,\) entonces \begin{equation*} x=\dfrac{v}{u}. \end{equation*} Sustituimos \(x=\dfrac{v}{u}\) en (\ref{1}): \begin{eqnarray*} \left( \dfrac{v}{u}\right) v &=&y \\ \dfrac{v^{2}}{u} &=&y, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} x=\dfrac{v}{u}\quad \quad \text{y} \quad \quad y=\dfrac{v^{2}}{u}. \end{equation*} Calculamos el jacobiano de la transformación \(L \) \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \left( x,y\right) }{\partial \left( u,v\right) } &=&\det \left( \begin{array}{cc} -\dfrac{v}{u^{2}} & \dfrac{1}{u} \\ -\dfrac{v^{2}}{u^{2}} & \dfrac{2v}{u} \end{array} \right) \\ &=&-\dfrac{2v^{2}}{u^{3}}+\dfrac{v^{2}}{u^{3}} \\ &=&-\dfrac{v^{2}}{u^{3}}. \end{eqnarray*} Calculamos la integral, \begin{eqnarray*} \iint_{D}xy\,dx\,dy &=&\int_{1}^{3}\int_{1}^{2}\left( \dfrac{v}{u}\right) \left( \dfrac{v^{2}}{u}\right) \left( \dfrac{v^{2}}{u^{3}}\right) \,du\,dv \\ &=&\int_{1}^{3}\int_{1}^{2}\dfrac{v^{5}}{u^{5}}\,du\,dv \\ &=&\int_{1}^{3}\left. -\dfrac{v^{5}}{4u^{5}}\right\vert _{1}^{2}\,dv \\ &=&\int_{1}^{3}-\dfrac{v^{5}}{64}-\left( -\dfrac{v^{5}}{4}\right) \,dv \\ &=&\int_{1}^{3}\dfrac{15}{64}v^{5}\,dv \\ &=&\dfrac{15}{64}\left( \left. \dfrac{v^{6}}{6}\right\vert _{1}^{3}\right) \\ &=&\dfrac{15}{64}\left( \dfrac{3^{6}}{6}-\dfrac{1}{6}\right) \\ &=&\dfrac{15}{64}\left( \dfrac{364}{3}\right) \\ &=&\dfrac{455}{16}. \end{eqnarray*}
2. Calcular el área de la región \(D\) acotada por las parábolas \(y=x^{2}\) y \(y=8x^{2}\) y las hipérbolas \(y=\dfrac{1}{x}\) y \(y= \dfrac{8}{x} \), haciendo el cambio de variable determinado por las igualdades \(xy=u\) y \(x^{2}=vy. \)

   Solución:

   La región es:

    

   

    

   Determinemos la transformación \(L\) que da el cambio de variables propuesto. Como \begin{equation} xy=u\quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad x^{2}=vy, \label{2}\tag{2} \end{equation} entonces \begin{equation} y=\frac{u}{x}\quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad y=\frac{x^{2}}{v}, \label{3}\tag{3} \end{equation} de donde, \begin{eqnarray*} \frac{u}{x} &=&\frac{x^{2}}{v}; \\ uv &=&x^{3}; \\ x &=&\left( uv\right) ^{\frac{1}{3}}. \end{eqnarray*} De la primera igualdad en (\ref{3}) y esto último se sigue \begin{eqnarray*} y^{3} &=&\frac{u^{3}}{x^{3}}=\frac{u^{2}}{v}; \\ y &=&\left( \frac{u^{2}}{v}\right) ^{\frac{1}{3}}. \end{eqnarray*} Entonces \(L\left( u,v\right) =\left( \left( uv\right) ^{\frac{1}{3}},\left( \dfrac{u^{2}}{v}\right) ^{\frac{1}{3}}\right) \) está definida en el plano \(UV \), excepto en el eje \(U \).

   Para encontrar la región \(D_{1}\) en el plano \(UV\) la cual tiene como imagen la región \(D\) encontramos de dónde proviene la frontera de la región \(D \).

   La parábola \(y=x^{2}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(v=1 \), ya que por (\ref{2}) las siguientes ecuaciones son equivalentes para \( y\neq 0 \) \begin{eqnarray*} y &=&x^{2}=vy \\ v &=&1. \end{eqnarray*} La parábola \(y=8x^{2}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(v=\dfrac{1}{8} \), ya que por (\ref{2}) las siguientes ecuaciones son equivalentes para \(y\neq 0 \) \begin{eqnarray*} y &=&8x^{2} \\ y &=&8vy \\ v &=&\frac{1}{8}. \end{eqnarray*} La hipérbola \(y=\dfrac{1}{x}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(u=1 \), ya que por (\ref{2}) las siguientes ecuaciones son equivalentes para \(x\neq 0 \) \begin{eqnarray*} y &=&\frac{1}{x} \\ yx &=&1 \\ u &=&1. \end{eqnarray*} La hipérbola \(y=\dfrac{8}{x}\) es la imagen bajo \(L\) de la recta \(u=8 \), ya que por (\ref{2}) las siguientes ecuaciones son equivalentes para \(x\neq 0 \) \begin{eqnarray*} y &=&\frac{8}{x}; \\ xy &=&8 \\ u &=&8. \end{eqnarray*} Es decir, \(D\) proviene del rectángulo \(D_{1}\) en el plano \(UV\) que está limitado por las rectas \(v=1,v=\dfrac{1}{8},u=1\) y \(u=8.\)

    

   

    

   Para calcular el área de la región \(D\) encontraremos la integral \( \iint_{D}dx\,dy \), mediante el cambio de variables definido por \(L \). Para esto debemos encontrar el jacobiano de la transformación \(L. \) \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \left( x,y\right) }{\partial \left( u,v\right) } &=&\det \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3}\dfrac{v}{\left( uv\right) ^{\frac{2}{3}}} & \dfrac{1}{3}\dfrac{u }{\left( uv\right) ^{\frac{2}{3}}} \\ \dfrac{1}{3}\dfrac{2u}{v\left( \frac{u^{2}}{v}\right) ^{\frac{2}{3}}} & - \dfrac{1}{3}\dfrac{u^{2}}{v^{2}\left( \frac{u^{2}}{v}\right) ^{\frac{2}{3}}} \end{array} \right) \\ &=&-\frac{1}{3v}. \end{eqnarray*} Calculamos el área de la región \(D\) \begin{eqnarray*} \iint_{D}dx\,dy &=&\iint_{D_{1}}\left\vert \dfrac{\partial \left( x,y\right) }{\partial \left( u,v\right) }\right\vert \,du\,dv=\int_{\frac{1}{8}}^{1}\int_{1}^{8}\frac{1}{3v} \,du\,dv \\ &=&\frac{7}{3}\int_{\frac{1}{8}}^{1}\dfrac{1}{v}\,dv \\ &=&\frac{7}{3}\left( \log \left( 1\right) -\log \left( \frac{1}{8}\right) \right) \\ &=&\frac{7}{3}\log \left( 8\right) \\ &=&7\log \left( 2\right) . \end{eqnarray*}

Ejercicios

1. Calcular el área de la región \(D\) acotada por las parábolas \(y^{2}=x\) y \(y^{2}=36x\) y la hipérbolas \(y=\dfrac{12}{x}\) y \(y= \dfrac{2}{x} \), haciendo el cambio de variable determinado por las igualdades \(xy=u\) y \(y^{2}=vx. \)
2. Calcular la integral \(\iint_{D}x^{2}\,dx\,dy\) donde \(D\) es la región del primer cuadrante acotada por las hipérbolas \(y=\dfrac{3}{x }\) y \(y=\dfrac{15}{x}\) y las rectas \(y=\dfrac{x}{2}\) y \(y=4x \), haciendo el cambio de variable determinado por las igualdades \(xy=u\) y \(y=vx. \)
3. Calcular la integral \(\iint_{D}x^{2}+y^{2}\,dx\,dy\) donde \(D \) está dada por la ecuación de la elipse \(\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2} }{16}\leq 1,\) haciendo un primer cambio de variable \(u=\dfrac{x}{3}\) y \(v= \dfrac{y}{4}. \)