• I. Introducción
• Proposición I.1
• Proposición I.2
• Proposición I.3
• Proposición I.4
• Proposición I.5
• Proposición I.6
• Proposición I.7
• Proposición I.8
• Proposición I.9
• Proposición I.10
• Proposición I.11
• Proposición I.12
• Proposición I.13
• Proposición I.14
• Proposición I.15
• Proposición I.16
• Proposición I.17
• Proposición I.18
• Proposición I.19
• Proposición I.20
• Proposición I.21
• Proposición I.22
• Proposición I.23
• Proposición I.24
• Proposición I.25
• Proposición I.26
• Proposición I.27
• Proposición I.28
• Proposición I.29
• Proposición I.30
• Proposición I.31
• Proposición I.32
• Proposición I.33
• Proposición I.34
• Proposición I.35
• Proposición I.36
• Proposición I.37
• Proposición I.38
• Proposición I.39
• Proposición I.40
• Proposición I.41
• Proposición I.42
• Proposición I.43
• Proposición I.44
• Proposición I.45
• Proposición I.46
• Proposición I.47
• Proposición I.48
• Bibliografía

• II.1 Introducción
• II.2 Congruencia de triángulos
  • II.2.a
    Sea ABC un triángulo. Si sobre los lados AB y AC se construyen triángulos equiláteros ABC´ y CAB´, entonces BB´ = CC´.
  • II.2.b
    La diagonal AC del paralelogramo ABCD lo divide en dos triángulos congruentes.
  • II.2.c
    Sea ABC un triángulo isósceles. Si AB = AC y A´es el punto medio de BC, entonces los triángulos ABA´ y ACA´ son congruentes.
  • II.2.d
    Sea ABC un triángulo isósceles tal que AB = AC entonces ángulo ABC=ángulo ACB.
• II.3 Área de un triángulo
  • II.3.a
    El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.
  • II.3.b
    El área de cualquier triángulo es la mitad del producto de cualquiera de sus bases por la altura correspondiente sobre la base considerada.
  • II.3.c
    Si dos triángulos tienen una misma altura entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón de las bases donde se levanta la altura común.
  • II.3.d
    Si dos triángulos tienen una base igual entonces la razón de sus áreas es igual a la razón entre las alturas que se levantan sobre la base igual.
• II.4 Teorema de Thales
  • II.4.a Primer Teorema de Thales.
    En el triángulo ABC, sean D y E puntos de AB y AC respectivamente, tales que DE es paralela a BC, entonces AB/AD = AC/AE.
  • II.4.b Recíproco del Primer Teorema de Thales.
    Si en el triángulo ABC, los puntos D y E están sobre los lados AB y AC respectivamente, tales que AB/AD = AC/AE, entonces DE es paralela a BC
  • II.4.c Segundo Teorema de Thales.
    Sean las rectas AD, BE y CF paralelas y dos rectas transversales a éstas, entonces AB/BC = DE/EF.
  • II.4.d Recíproco del Segundo Teorema de Thales.
    Si AB/BC = DE/EF y dos de las tres rectas AD, BE o CF son paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.
• II.5 Semejanza de triángulos
  • II.5.a Teorema de semejanza AAA.
    Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales, entonces sus lados correspondientes son proporcionales y los triángulos son semejantes.
    Corolario. Criterio de Semejanza AA.
    Si dos pares de ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son semejantes.
  • II.5.b Teorema de semejanza LAL.
    Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, entonces los triángulos son semejantes.
  • II.5.c Teorema de semejanza LLL.
    Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
• II.6 Puntos y recta notables del triángulo
  • II.6.1 Introducción.
  • II.6.a Lema.
    El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y de longitud igual a la mitad de tal lado.
  • II.6.b Teorema.
    Las medianas de un triángulo son concurrentes.
  • II.6.c Lema.
    Un punto P está en la bisectriz interna de un ángulo sí y sólo sí P equidista de los lados del ángulo.
  • II.6.d Teorema.
    Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes.
  • II.6.e Lema.
    Un punto P está en la mediatriz de un segmento AB sí y sólo sí la distancia de P a cada extremo A, B es la misma.
  • II.6.f Teorema.
    Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes.
  • II.6.g Teorema.
    Las alturas de un triángulo son concurrentes.
  • II.6.h Lema.
    Sea ABC un triángulo. Sean H su ortocentro, O su circuncentro y A´ el punto medio del lado BC, entonces AH = 2A´O.
• II.7 Geometría del triángulo
  • II.7.1 Introducción.
  • II.7.a Recta de Euler.
    El ortocentro, el centroide y el circuncetro son colineales. Además, el centroide divide la distancia del ortocentro al circuncentro en la razón 2:1.
  • II.7.b Teorema.
    El triángulo medial A´ B´ C´ y el triángulo ABC son semejantes, en razón 2:1. En particular, el circunradio del triángulo medial es la mitad del circunradio del triángulo ABC.
  • II.7.c La circunferencia de los nueve puntos.
    Los pies de las tres alturas de un triángulo ABC, los puntos medios de sus tres lados y los puntos medios de los segmentos que van de los vértices al ortocentro, están en una circunferencia de radio (1/2)R, donde R es el circunradio del triángulo ABC.
  • II.7.d Teorema de Ceva.
    Si en un triángulo ABC se toman los puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF son concurrentes, entonces (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
  • II.7.e Recíproco del Teorema de Ceva.
    Si en un triángulo ABC se toman los puntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB respectivamente, tales que las rectas AD, BE y CF satisfacen (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1, entonces son concurrentes.
  • II.7.f Teorema de Menelao.
    Si una recta intersecta los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) de un triángulo ABC en los puntos L, M y N respectivamente, entonces (AN/NB)(BL/LC)(CM/MA)=-1.
  • II.7.g Recíproco del Teorema de Menelao.
    Si L, M y N son puntos de los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) respectivamente, de un triángulo ABC para el cual se cumple (AN/NB)(BL/LC)(CM/MA)=-1, entonces L, M y N son colineales.
  • II.7.h Teorema de la bisectriz.
    La bisectriz interna AL del ángulo en A de un triángulo ABC divide internamente al lado opuesto BC en razón AB/CA, esto es BL/LC = AB/CA.
  • II.7.i Teorema de Pappus.
    Si A, C, E son tres puntos en una recta, B, D, F son tres puntos en otra recta y si las rectas AB, CD, EF intersectan a las rectas DE, FA y BC respectivamente, entonces los tres puntos de intersección L, M y N son colineales.
  • II.7.j Teorema de Desargues.
    Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto y si sus pares de lados correspondientes se intersectan, entonces los tres puntos de intersección son colineales. Es decir, los triángulos están en perspectiva desde la recta que contiene los puntos de intersección.
  • II.7.k Recíproco del Teorema de Desargues.
    Si dos triángulos están en perspectiva desde una recta, entonces las rectas que unen dos pares de vértices correspondientes son concurrentes. Es decir, los triángulos están en perspectiva desde el punto de intersección de estas rectas.
  • II.7.l Teorema.
    Dado un triángulo ABC se tiene que las medianas AA', BB' y CC' concurren.
  • II.7.m Teorema.
    Dado un triángulo ABC se tiene que las alturas AD, BE y CF concurren.
  • II.7.n Teorema.
    Dado un triángulo ABC se tiene que las bisectrices internas AL, BM y CN concurren.
  • II.7.o Teorema.
    Dado un triángulo ABC se tiene que la bisectriz interna de un ángulo y dos bisectrices externas de los otros dos ángulos concurren.
• II.8 Cuadriláteros cíclicos y ángulos en la circunferencia
  • II.8.1 Introducción.
  • II.8.a Proposición III.1
    Para encontrar el centro de un círculo dado.
  • II.8.b Proposición III.20
    Si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
  • II.8.c Proposición III.21
    Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.
  • II.8.d Teorema.
    Sean A y C dos puntos fijos sobre una circunferencia. Para cualesquiera dos puntos B y B' de la circunferencia se tiene que los ángulos ABC y AB´C son iguales o son suplementarios.
  • II.8.e Teorema.
    Sean A y C dos puntos fijos. El conjunto de puntos B que cumple que el ángulo ABC es constante, consta de dos arcos de circunferencia del mismo radio.
  • II.8.f Teorema.
    Sean A y C dos puntos fijos. El conjunto de puntos B que cumple que ángulo ABC es un ángulo recto, es una circunferencia de diámetro AC.
  • II.8.g Proposición III.22
    Si un cuadrilátero convexo es cíclico, entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios.
  • II.8.h Recíproco de la Proposición III.22
    Si un cuadrilátero convexo tiene dos ángulos opuestos suplementarios, entonces es cíclico.
  • II.8.i Teorema
    Un cuadrilátero es cíclico sí y sólo sí el ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal.
  • II.8.j Teorema.
    En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un ángulo recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un ángulo recto.
  • II.8.k Teorema de Ptolomeo.
    Si un cuadrilátero convexo es cíclico, entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
  • II.8.l Recíproco del Teorema de Ptolomeo.
    Si el producto de las diagonales de un cuadrilátero convexo es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, entonces el cuadrilátero es cíclico.
  • II.8.m Teorema de Simson.
    Si un punto se encuentra sobre el circuncírculo de un triángulo, entonces las proyecciones del punto sobre los lados del triángulo son colineales.
  • II.8.n Recíproco del Teorema de Simson.
    Si las proyecciones de un punto sobre los lados de un triángulo son colineales, entonces el punto se encuentra sobre el circuncírculo del triángulo.
  • II.8.o Teorema.
    Si una recta es tangente a una circunferencia, y se construye una recta del centro al punto de contacto, la recta así construida será perpendicular a la tangente.
  • II.8.p Teorema.
    Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
• II.9 Algunas propiedades de las circunferencias
  • II.9.1 Introducción.
  • II.9.a Proposición III.35
    Si dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se intersectan en un punto P, entonces (PA)(PB)=(PC)(PD).
  • II.9.b Teorema.
    Si A, B y C son puntos sobre una circunferencia y si la tangente en C, intersecta en un punto P a la prolongación de la cuerda AB, entonces (PC)²=(PA)(PB)
  • II.9.c Teorema.
    La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia de radio R es, d²-R²,donde d es la distacia de P al centro. La potencia será positiva, cero o negativa dependiendo si P se encuentra fuera, sobre o dentro de la circunferencia.
  • II.9.d Teorema (Eje radical).
    El lugar geométrico de los puntos P que tienen la misma potencia con respecto a dos circunferencias es una perpendicular a la línea de los centros.
  • II.9.e Teorema (Fórmula de Euler).
    Sean O e I el circuncentro e incentro, respectivamente, de un triángulo con circunradio R e inradio r; sea d la distancia OI, entonces d²=R²-2rR.
  • II.9.f Teorema de Pascal.
    Si los vértices de un hexágono están sobre una circunferencia y los tres pares de lados opuestos se intersectan, entonces los tres puntos de intersección están alineados.
  • II.9.g Teorema.
    Los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas por pares, son concurrentes.
  • II.9.h Teorema.
    Si P' y Q' son dos puntos sobre las tangentes en P y Q de una circunferencia (ambos del mismo lado de la línea PQ) tales que PP' =QQ', entonces existe una circunferencia tangente a las rectas PP' y QQ' en P' y Q', respectivamente.
  • II.9.i Teorema de Brianchon.
    Si los seis lados de un hexágono son tangentes a una circunferencia, entonces sus tres diagonales son concurrentes (o posiblemente paralelas).
• II.10 Teoremas selectos
  • II.10.1 Introducción.
  • II.10.a Ley de los cosenos.
    Sean a, b, c, los lados de un triángulo ABC y B el ángulo opuesto al lado b. Entonces b² = a² + c² - 2acCos(B).
  • II.10.b Ley de los senos.
    Sea ABC un triángulo inscrito en una circunferencia de radio R. Si a, b, c, son los lados del triángulo opuestos a los vértices A, B, C respectivamente,
    entonces a/Sen(A) = b/Sen(B) = c/Sen(C)=2R .
  • II.10.c Teorema de Stewart.
    Sean ABC un triángulo de lados a, b, c, y AX una ceviana de longitud p, que divide al segmento BC en dos segmentos BX = m y XC = n . Entonces a(p² + mn) = b²m + c²n.
  • II.10.d Corolario.
    Dado un triángulo equilátero ABC de lados l, cualquiera de sus medianas tiene longitud [(3^½)/2]*l.
• II. 11 Bibliografía

• Thales de Mileto (624-547 a.C)
• Euclides de Alejandría (325-265 a.C)
• Menelao de Alejandría (70-130)
• Claudio Ptolomeo (85-165)
• Pappus de Alejandría (290-350)
• Girard Desargues (1591-1661)
• Blaise Pascal (1623-1662)
• Giovanni Ceva (1647-1734)
• Leonhard Euler (1707-1783)
• William Wallace (1768-1843)
• Charles Brianchon (1783-1864)
• Críticas a la Teoría euclídea y sus consecuencias
• Críticas al Quinto Postulado y sus consecuencias
• Postulados de Hilbert para la Geometría Euclidiana Plana