Es interesante releer las definiciones de Euclides de los objetos que trata que son puntos, rectas acotadas, o sea, segmentos, círculos, ángulos rectos, superficies y figuras. Actualmente los matemáticos consideran que las definiciones son la parte más débil de la teoría euclidiana, pues algunas de ellas son bastante oscuras. Por ejemplo, la Definición 1. Un punto es aquello que no tiene partes .

Observamos también, que todos los objetos con los que Euclides trata son acotados en el espacio, línea siempre significaba línea recta acotada, es decir, un segmento. El concepto de línea infinita no existía, la recta se tenía que prolongar cada vez que fuese necesario.

Por otro lado, el conjunto de postulados sobre los cuales basó su sistema, ha resultado insuficiente para la justificación de todas las proposiciones que demuestra.

Hasta el siglo XIX los planteamientos que se hacían no se alejaban mucho de lo que había propuesto veinte siglos antes Euclides. En ese siglo comenzó a vislumbrarse una nueva base axiomática de la geometría más acorde con las exigencias del rigor matemático.
El sistema de postulados más difundido y aceptado fue el que propuso

David Hilbert (1862-1943)

en su obra Grundlagen der Geometrie en 1899.
Puedes conocer este sistema en el apartado III.n, así como dos sitios Web con su biografía.

También puedes consultar su libro:
Hilbert, D.
Foundations on Geometry
Open Court Publishing Co., 1962.

El sistema de Postulados de Hilbert que se muestra en el apartado III.n, viene como el
Apéndice 2: Postulados de Hilbert para la Geometría Euclidiana Plana, del libro
Eves, Howard.
Estudio de las Gemoetrías. Vol. I.
UTEHA.

A pesar de las críticas a la axiomática de Los Elementos no deja de ser admirable que 2200 años antes de que Hilbert presentara su propuesta, Euclides planteara una axiomatización tan completa de la geometría. Además, aunque no tenga suficiente rigor esta propuesta de los Elementos permite desarrollar una geometría intuitiva, más fácil de "ver" que la de Hilbert. Una buena parte de lo que expone Euclides en su obra se sigue explicando en los manuales de geometría que se utilizan en la enseñanza básica.


Bibliografía
Michael Barot
Un paseo a Hiperbolia
Serie: Matemáticas Aplicadas y su Enseñanza
Sociedad Matemática Mexicana (SMM) y Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.(CIMAT). 2005.

Eves, Howard.
Estudio de las Gemoetrías. Vol. I.
UTEHA.

Ramírez Galarza Ana Irene y Sienra Lorea Guillermo
Invitación a las geometrías no euclidianas.
Coordinación de Servicios Editoriales,
Facultad de Ciencias, UNAM.
1a. edición, 2000.

Morris Kline
El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días.
Alianza Editorial , 1972.
Tomo III. Capítulo 36. La geometría no euclídea

E.T. Bell
MEN OF MATHEMATICS
A Fireside Book Publishing by SIMON AND SCHUSTER. New York.

En línea el libro de E.T. Bell: Los grandes matemáticos
http://www.geocities.com/grandesmatematicos/index.html
Capítulo 16 . EL COPÉRNICO DE LA GEOMETRÍA.
LOBATCHEWSKY (1793-1856).
Capítulo 26. ÁNIMA CÁNDIDA. RIEMANN (1826-1866).
Capítulo 28. EL ÚLTIMO UNIVERSALISTA. POINCARÉ (1854-1912).