Hipótesis: Sea ABC un triángulo, sea P el punto dado sobre el circuncírculo de ABC, y sean A', B' y C' las proyecciones de P sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente.

Tesis:
Demostrar que
los puntos A', B' y C' son colineales.

Demostración.

Supongamos que P está sobre el arco CA, el arco CA que no contiene a B.
Para concluir que A', B' y C' son colineales, bastará demostrar que B'C' y B'A' forman con AC ángulos iguales.

Es decir, demostraremos que

P1.
Las proyecciones de P sobre los lados BC, CA y AB son A', B' y C', respectivamente.

P2.
Como el cuadrilátero ABCP es cíclico, entonces por el Teorema II.8.g, tenemos que los ángulos opuestos son suplementarios. Por lo tanto, .

P3.
En el cuadrilátero BA'PC', los ángulos y son rectos y son opuestos. Por lo tanto, por el Teorema II.8.h, el cuadrilátero BA'PC' es cíclico.

P4.
Por lo tanto, por el Teorema II.8.g, tenemos que .

P5.
Igualando las relaciones (1) y (2) y restando el ángulo común , obtenemos que
.

P6.
En el cuadrilátero AB'PC', los ángulos y son rectos y son opuestos. Por lo tanto, por el Teorema II.8.h, el cuadrilátero AB'PC' es cíclico.

P7.
Luego, por el Teorema II.8.i, tenemos la igualdad .

P8.
En el cuadrilátero A'CPB', los ángulos y son ángulos rectos. Por el Teorema II.8.f, los puntos B' y A' están sobre el círculo de diámetro CP. Por lo tanto, el cuadrilátero A'CPB' es cíclico.

P9.
Por el Teorema II.8.i, se tiene la igualdad .

P10.
Las igualdades (4) y (5) junto con la igualdad (3), nos permiten concluir que
,
Por lo tanto A', B' y C' son colineales.

Q.E.D.