Hipótesis: Sea el triángulo ABC y AL la bisectriz interna del ángulo interior .

Demostración.

P1.
Trazamos la paralela k a la bisectriz AL que pasa por el punto C.

P2.
Sea el punto R la intersección de la recta k con la prolongación del lado AB.

P3.
Como las rectas AL y RC son paralelas, entonces , y por ser ángulos alternos internos entonces .
Luego, como AL es la bisectriz del ángulo tenemos . Por lo tanto, .

P4.
Por lo tanto, el triángulo ACR es isósceles y  AR = AC.

P5.
Los triángulos RBC y ABL son semejantes, por ser de lados paralelos y por el Teorema II.4.a, la parte directa del Primer Teorema de Thales, tenemos que , pero
AR = AC, por lo tanto .

Q.E.D.

De manera análoga, podemos demostrar que:
Teorema. La bisectriz externa AL' del ángulo en A del triánglo ABC divide externamente al lado opuesto BC en razón , esto es , donde L' es el punto de intersección de la bisectriz externa con la prolongación del lado BC.
Y como obtenemos el mismo resultado para la bisectriz de cualquier ángulo, tenemos el siguiente:

Teorema. Cada bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes.