Hipótesis: Sean el triángulo ABC , su ortocentro H y su circuncentro O.
Sean los puntos D, E, F los pies de sus alturas, los puntos A´, B´, C´ los puntos medios de sus lados ; y los puntos K, L, M los puntos medios de los segmentos que van de los vértices al ortocentro H.
Y sean el triángulo medial A´B´C´, su circuncentro N, y su ortocentro O.

Demostración.

P1.
Los puntos K, L y M son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH .

P2.
Por el Lema II.6.a, los segmentos C´B´ y LM son paralelos al lado BC y de longitud .

P3.
Nuevamente, por el Lema II.6.a, como AH es un lado común de los triángulos BAH y CAH, los segmentos C´L y B´M son paralelos a AH y su longitud es .

P4.
Por lo tanto, B´C´LM es un paralelogramo.
Más aún, como BC y AH son perpendiculares, el paralelogramo B´C´LM es un rectángulo.

P5.
Similarmente, se puede demostrar que A´B´KL es un rectángulo, y

P6.
que C´A´MK también es un rectángulo.

P7.
Sabemos que en un rectángulo las diagonales son iguales y se cortan en su punto medio. Y cada dos de los rectángulos tienen una diagonal común, por lo tanto, KA´, LB´ y MC´, son diámetros de un mismo círculo.

P8.
Se trata del circuncírculo del triángulo medial A´B´C´.
Por el Teorema II.7.b, sabemos que el radio del circuncírculo del triángulo medial A´B´C´ es igual a
(1/2)R, donde R es el circunradio del triángulo ABC, y por el paso 11 del Teorema II.7.b, sabemos que el circuncentro N del triángulo medial A´B´C´, el ortocentro H, y el circuncentro O del triángulo ABC, satisfacen que
HO = 2HN.

P9.
Como el ángulo es un ángulo recto, el círculo con diámetro KA´ pasa por D. Análogamente, como el ángulo es un ángulo recto, el círculo con diámetro LB´ pasa por E, y también como el ángulo es un ángulo recto, el círculo con diámetro MC´ pasa por F.
Por lo tanto, el mismo círculo pasa por D, E y F.

P10.
Por lo tanto, los tres pies D, E y F de las alturas, los tres puntos medios A´, B´y C´de los lados del triángulo ABC, y los tres puntos medios K, L y M de los segmentos AH, BH y CH que unen los vértices con el ortocentro H, están en una circunferencia de radio (1/2)R.

Además, el circuncentro N del triángulo medial A´B´C´es el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

Q.E.D.