Hipótesis: Sea el triángulo ABC.

La recta donde se encuentran estos puntos se conoce como la Recta de Euler.

Demostración.

P1.
Por el Teorema II.6.b, tracemos las medianas AA´y BB´para localizar el centroide G.

P2.
Por el Teorema II.6.g, tracemos las alturas AD y BE para localizar el ortocentro H.

P3.
Por el Teorema II.6.f, tracemos las mediatrices A´O y B´O, para localizar el circuncentro O.

P4.
Por el Lema II.6.h, sabemos que AH = 2A´O .

P5.
Por el Teorema II.6.b, el centroide G es el punto donde se trisecan las medianas,
entonces AG = 2GA´.

P6.
Luego, como AH y A´O son ambas perpendiculares a BC, entonces son paralelas, y AA´ es una transversal a ellas. Por lo tanto, .

P7.
Por el Teorema II.5.b, Teorema de semejanza LAL, tenemos que los triángulos son semejantes.

P8.
En particular, tenemos que . Por lo tanto, H, G, y O son colineales.

Como los triángulos HAG y OA´G son semejantes en la razón 2 : 1, entonces también se cumple que:
                                     HG = 2GO .

Q.E.D.