II.7 Geometría del triángulo. El triángulo medial El triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo, es llamado el triángulo medial del triángulo dado. El triángulo pedal. El triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo, es llamado el triángulo pedal del triángulo dado. El triángulo pedal también es llamado triángulo órtico. Algunos datos históricos. Leonhard Euler (1707-1783).
El nombre Euler aparece muy frecuentemente en muchas ramas de las matemáticas. Nació en Basilea Suiza, desde muy joven se apasionó por las matemáticas. En 1727, fue invitado a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, Rusia. En 1741, se va a Berlín, para presidir la Academia Prusiana de Matemáticas. Regresó a San Petersburgo en 1766, y permanece allí hasta su muerte en 1783. Fue, durante mucho tiempo, el matemático más importante de Europa y es, todavía ahora, el autor más prolífico de toda la historia de las matemáticas. Euler fue un trabajador incansable, sus actividades enriquecieron cada campo de las matemáticas. Podemos ver que hay un teorema de Euler, una fórmula de Euler o un método de Euler. Escribió 473 memorias que fueron publicadas durante su vida, otras 200 poco tiempo después y otras 60 que han tenido que esperar. Todo esto lo hizo bajo condiciones difíciles, perdió la vista en un ojo en 1735, y en el otro en 1766. Tenía un poder de cálculo impresionante, y una enorme comprensión intuitiva de las matemáticas. Nos encontraremos su nombre una vez, otra vez y otra vez en nuestro trabajo. De Euler dijo Laplace que había sido el maestro de todos los matemáticos a partir de la segunda mitad del siglo XVIII. Entre otras cosas, se deben a Euler las siguientes notaciones:
 , descubierta en 1742. La fórmula muestra la relación entre los cinco
números más importantes de la matemática:
 .
H. S. M. Coxeter & S. L. Greitzer. Mariano Perero. Giovanni Ceva (Milán, Italia 1647-1734). Parece ser que fue uno de los primeros filósofos, científicos y matemáticos griegos, aunque se desempeñaba fundamentalmente como ingeniero. Ninguno de sus escritos sobrevivió, esta es una gran dificultad para poder determinar cuáles fueron, verdaderamente, sus descubrimientos matemáticos. Los teorema de Menelao y Ceva, en sus versiones originales, son completamente anticuados, pues uno data de la Grecia antigua y el otro de 1678. Cuando se enunciaron en función de las magnitudes con sentido fue cuando adquirieron un aspecto particularmente moderno. Aunque el teorema de Ceva (sobre concurrencia de rectas) está estrechamente relacionado al teorema de Menelao (sobre colinealidad de puntos), parece haber eludido su descubrimiento hasta 1678, cuando Giovanni Ceva publicó un trabajo que contenía tanto este teorema como el entonces evidentemente olvidado desde hacía tiempo, teorema de Menelao. Los Teoremas de Menelao y Ceva, en su moderna redacción, son potentes, y con ellos pueden tratarse elegantemente muchos problemas en los que interviene la colinealidad de puntos y la concurrencia de rectas. Howard Eves. Menelao de Alejandría (70-130 D.C.). Menelao de Alejandría (no confundirlo con Menelao de Esparta) fue un astrónomo griego que vivió en el primer siglo de nuestra era. Aunque sus obras en griego original no han llegado a nosotros, sabemos de algunas de ellas por las observaciones que han hecho comentadores posteriores y su tratado de tres libros Sphoerica se ha conservado hasta nuestra época en árabe. Este trabajo arroja considerable luz sobre el desarrollo griego de la trigonometría. El libro I se dedica a establecer para triángulos esféricos muchas de las proposiciones de los Elementos de Euclides que se verifican en los triángulos planos, tales como los teoremas de congruencias familiares, los teoremas acerca de los triángulos isósceles, y así sucesivamente. Además, Menelao establece la congruencia de dos triángulos esféricos en que los ángulos de uno son iguales a los del otro (para la cual no hay analogía en el plano) y el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos. Su trabajo más conocido es el "teorema de Menelao", que puede enunciarse como sigue: "El producto de tres razones de segmentos consecutivos de los lados de un triángulo, determinados por cualquier línea transversal, es igual a la unidad". Howard Eves. Jean-Paul Collette. Pappus de Alejandría (cerca de 300 D.C.) Pappus apropiadamente ha sido llamado uno de los últimos grandes geómetras de la antigüedad. El teorema de Pappus es uno de los más importantes teoremas de la geometría plana. Y aunque Pappus lo desmostró cerca de 300 D.C., su importancia en los fundamentos de la geometría proyectiva no fue reconocido sino cerca del siglo XVI. Howard Eves. Girard Desargues (1591-1661)
La teoría geométrica de la perspectiva fue inaugurada por el arquitecto Filippo Brunelleschi (1377-1446), diseñó el domo octagonal de la catedral en Florencia, y también el palacio Pitti. Un estudio más profundo de la misma teoría fue emprendido por otro arquitecto, Girard Desargues cuyo teorema de "dos- triángulos" fue encontrado posteriormente tan importante como el teorema de Pappus. Su teorema puede ser deducido del teorema de Pappus, pero los detalles son complicados, más fácilmente puede ser deducido del teorema de Menelao. H. S. M. Coxeter & S. L. Greitzer. Imagen tomada del sitio: |
es el triángulo medial del triángulo 
.
es el triángulo pedal del 
, como símbolo de función.
, como base de los logaritmos naturales.
para indicar los lados de un triángulo 
.
, como símbolo de suma .
, para representar la unidad imaginaria 
