Dos importantes geometrías alternativas a la geometría euclidiana son la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.

Estas tres geometrías pueden ser distinguidas por el número de rectas paralelas a una recta dada que pasa por un punto dado.

Para la geometría elíptica no existe una tal recta; para la geometría euclidiana, existe exactamente una; y para la geometría hiperbólica hay una infinidad.

Poincaré describió un modelo de geometría hiperbólica donde los “puntos” en un plano hiperbólico son tomados como puntos dentro de un círculo fijo (exceptuando los puntos que están en la circunferencia).

Las “rectas” en el plano hiperbólico son las partes de los círculos ortogonales al círculo fijo, esto es, en ángulos rectos al círculo fijo.

Y en este modelo, los “ángulos” en el plano hiperbólico son ángulos entre estos arcos, o más precisamente ángulos entre las tangentes a los arcos en el punto de intersección, este modelo es llamado modelo conforme.

Las distancias en el plano hiperbólico, sin embargo, no son medidas por las distancias a lo largo de los arcos. Existe una relación más complicada entre las distancias, así que cerca del borde del círculo fijo un arco muy corto modela una muy larga “recta”.

Una vez que este modelo es aceptado, es fácil ver por qué existen infinidad de “rectas” paralelas a una “recta” dada que pasa por un “punto” dado. Esto es porque existen infinidad de círculos ortogonales al círculo fijo, los cuales no intersectan al círculo ortogonal dado del círculo fijo pero que sí pasan por el punto dado.

Tomado de:
Los Elementos de Euclides
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html