Nota aclaratoria
Actualmente, en la enseñanza de la geometría elemental se da por supuesto que los alumnos están familiarizados con los conceptos básicos de punto, recta, plano, espacio, así como con las relaciones elementales entre ellos. Por ejemplo, se asume que por dos puntos pasa cualquier número de líneas. Pero, únicamente una línea recta pasa por ellos. Como señala [Ba], “Pensamos diferente respecto a definiciones de objetos matemáticos hoy en día: no es necesario definir los objetos, lo que importa es únicamente la interrelación entre ellos. Esta interrelación se tiene que asentar por completo en los axiomas. Lo que nos imaginemos bajo el nombre de "punto" no importa mientras procuremos que el objeto imaginado satisfaga las relaciones exigidas en los axiomas.”
Más allá de la herencia de los griegos ...
El periodo que siguió al Renacimiento europeo, y que corre hasta la época actual, se conoce en la historia de las matemáticas como la era moderna. Una de las formas en que los matemáticos de la era moderna han extendido la geometría más allá de la heredada por los griegos ha sido el descubrimiento de muchas nuevas proposiciones relacionadas con las circunferencias y las figuras rectilíneas, deducidas de las enumeradas en los Elementos de Euclides. Este tema se conoce como geometría moderna elemental, y constituye una continuación o extensión de los Elementos de Euclides.
El siglo XIX fue testigo de un crecimiento asombroso en el área de la geometría. Incluso, podría parecer que la geometría del triángulo y sus puntos, rectas y circunferencias relacionados es inagotable
Durante ese tiempo se fueron haciendo importantes aportaciones a lo hecho por Euclides:
- Una de las innovaciones importantes de la Geometría moderna elemental es el empleo, cuando es útil, de segmentos con sentido, o sea, con signo, también llamados segmentos dirigidos. La idea de las magnitudes con sentido fue explotada sistemáticamente por primera vez, a principios del siglo XIX, por Carnot (en su Geometría de posición, 1803) y especialmente por A.F. Möbius (en su Der barycentriche Calcul, de 1827).
Por medio de este concepto de magnitudes con sentido, algunos principios y relaciones que se dan separadamente, pueden a menudo combinarse en un solo principio que las abarque, o en una relación, y puede formularse frecuentemente una sola demostración para un teorema que de otra forma necesitaría la consideración de varios casos distintos.
- La noción de segmento dirigido nos conduce a la siguiente definición muy útil: la razón en la que un punto sobre una recta divide a un segmento de ésta.
- Otra de las innovaciones es asignar sentido a los ángulos que están en un plano común.
Se dice que un ángulo es negativo si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, y que es positivo si la rotación es en sentido contrario al reloj.
Un ángulo así es un ángulo con sentido o ángulo dirigido.
- A veces, conviene asignar sentido a las áreas de triángulos que están en un plano común.
Un triángulo ABC se considerará positivo o negativo según que el perímetro descrito de A a B a C a A sea en el sentido contrario a las manecillas del reloj o en el sentido de las manecillas del reloj.
- Otra innovación de la geometría moderna elemental es la creación de algunos elementos ideales llamados "puntos en el infinito", "la recta del infinito" de un plano, y "el plano del infinito" del espacio.
La geometría deductiva desarrollada después de Euclides, y anterior a las geometrías no euclidianas, algunos autores la han denominado
Geometría moderna, históricamente se sitúa entre los siglos III A.C. y XIX D.C. Ver [Ca].
