Volumen de sólidos de revolución

En este apartado podrás encontrar algunas aplicaciones de la integral, relacionadas con los volúmenes contenidos al rotar la gráfica de una función definida en un intervalo cerrado [a,b], alrededor de uno de los ejes y que son los llamados sólidos de revolución. En este trabajo los ejemplos serán de rotaciones alrededor del eje de las x. Por ejemplo, imagina una función constante en [0,2], al rotarla alrededor del eje x, se formaría un cilindro, pero si la función fuese la idéntica tendríamos un cono.

Objetivo

Calcular los volúmenes contenidos al rotar la gráfica de una función definida en un intervalo cerrado [a,b].

Conceptos previos

• Es de suma importancia tener en cuenta el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo que dice:

• La fórmula para calcular el volumen del sólido de revolución al rotar una función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x es .

• Sólo por dar una idea, diremos que dicha fórmula se obtiene considerando que el radio en cada corte circular es el valor de . El procedimiento de cálculo integral, utiliza límites de sumas de volúmenes de pequeñas arandelas o cortes circulares infinitesimales del sólido de revolución.

• Por un método similar, conocido como de capas cilíndricas, se obtiene la fórmula para rotaciones alrededor del eje de las y, a saber: .

Ejemplos

A continuación podrás ver algunos ejemplos de aplicaciones de la integral en el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Para el cálculo de las integrales, consultaremos las tablas de integrales y en caso de que lo amerite, exhibiremos el procedimiento en una ventana flotante.

Da clic en un ejemplo, ejecútalo y si gustas reiniciar, da clic en el icono

En todos los ejemplos, excepto en el Ejemplo 4, el cálculo de las integrales es sencillo. Si gustas ver el desarrollo de la integral en el Ejemplo 4, da clic aquí.

Ejercicios

A continuación podrás practicar tus conocimientos adquiridos sobre los problemas de sólidos de revolución. Recuerda que es muy importante que tomes tu papel y lápiz, para realizar los cálculos correspondientes.