El número e es irracional

En este apartado te presentamos una aplicación muy particular del polinomio de Taylor de la función exponencial, con la idea de demostrar que el número e es irracional.

Recuerda que en el apartado anterior vimos que .

Para los efectos de la aplicación que te queremos presentar, nos será suficiente y de mayor utilidad tomar la desigualdad 2 < e < 3.

Además utilizaremos la estimación del resto que hicimos para la función exponencial, a saber

Y por otra parte que con base en el conocimiento de que la función exponencial es creciente, utilizaremos la siguiente desigualdad

Para no hacer tan larga la demostración que nos ocupa primero demostraremos el siguiente lema, que establece una nueva aproximación del resto para la función exponencial y luego nuestro teorema final.

Lema

Este será nuestro teorema de cierre, con lo cual esperamos te proporcione mucha idea de las posibilidades del Teorema de Taylor.

Teorema 5

Con esto cerramos el tema, no obstante que hay mucha tela de dónde cortar. Nuestra siguiente sección la dedicaremos a las aplicaciones del Cálculo Integral.