Los enteros pueden ser pares o impares

Los múltliplos de 2, , se llaman Enteros Pares.
El resto de ellos, , se llaman Enteros Impares.
Te presentamos varias proposiciones que relacionan k² con k, todas demostradas con el Método por Contarrecíproca.

Proposiciones sobre pares e impares

Dando clic en Proposición e1, puedes ver la de los pares y dando clic en Proposición e2, la de los impares.
La conjunción de ambas proposiciones es el siguiente Teorema: .
O equivalentemente el Teorema: .

Enteros múltiplos de 3 o de otros enteros.

Tambien podemos clasificar los enteros en los que son múltiplos de 3 y los que no lo son.
Los múltiplos de 3 son de la forma: y los que no, pueden ser de la forma o de la forma .

Dando clic en Proposición e3 verás la relación entre k² y k para los múltiplos de 3. Como el recíproco de esta proposición es inmediato, se tiene el teorema:

Esta proposición no se puede extender a todos los enteros, por ejemplo, la proposición ES FALSA, pués no es múltiplo de 4 y sin embargo si es múltiplo de 4.

Un Lema

La generalización de estos resultados, es posible para los números primos, pero para ello, se requiere el siguiente Lema:

cuya demostración se basa en el Teorema fundamental de la Aritmética que establece: "Todo número entero k >1, se puede factorizar de manera única (salvo orden) como producto de números primos". Es decir:

Dando clic en Proposición e4 puedes ver la demostración de la condición necesaria (=>). La condición suficiente (<=) es inmediata.

Observación

Del Teorema Fundamental de la Aritmética sólo dejaremos la referencia, ya que su demostración se escapa de los propósitos de este trabajo: I.N. Herstein. Topics in Algebra. Blaisdell Publishing Company.

Conclusión

En los Enteros hay muchos resultados interesantes, varios de ellos relacionados con los números primos. Existen también diversas Conjeturas interesantes (Proposiciones que permanecen sin demostración y que hoy día, aún con la utilización de las computadoras, no se ha encontrado contraejemplo alguno).

Tal es el caso de la Conjetura de Golbach cuyo planteamiento se remonta a 1742, en una carta que escribe Christian Golbach a Leonard Euler y que dice: "Todo número par (mayor de 2) se puede escribir como la suma de dos números primos".

Con paciencia se pueden comprobar muchos casos: 4=3+1, 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, etc.. El hecho es que hasta la fecha con las computadoras se han podido comprobar cientos de billones de pares y no aparece contraejemplo alguno, pero tampoco hay alguna demostración.