El número 
es irracional
Los
griegos, con el Teorema
de Pitágoras aplicado
a un triángulo rectángulo con catetos igual a 1, descubrieron
el número 
y dando clic en Proposición
i1 encontrarás la demostración,
por Reducción
al Absurdo, al igual que las tres siguientes, de que 
.
Así, este sería seguramente el primer irracional que
registraron.
Llamando 
a los números irracionales (que los Griegos llamaron inconmensurables),
tenemos que 
.
Algunos
otros Números Irracionales
También
dando clic Proposición
i2 encontrarás la demostración
de que 
( i.e. 
)
.
De
manera mas general, dando clic Proposición
i3 encontrarás la demostración
de que 
( i.e. 
).
De
manera general
Se
tiene el siguiente resultado: 
,
dando clic Proposición
i4 encontrarás la demostración.
Es decir:
Aun
otras formas
Aunado
a lo anterior, tenemos otras formas para producir números irracionales,
como lo podrás ver dando clic en
Proposición
i5 y en Proposición
i6.
Observaciones
muy importantes
No
obstante las anteriores construcciones, aun así, no habríamos
agotado todos los los números irracionales, como veremos adelante.
Se
pueden encontrar fácilmente dos irracionales cuya suma sea racional
o también cuyo producto sea racional, ¿Lo puedes intentar?.
Con lo anterior se concluye que no satisfacen los axiomas A1 y M1 de los
axiomas
de los reales y por lo mismo, no son
un Campo.
Conclusiones
Un
número real, o es racional o es irracional. Es decir:
y 
Los
Racionales y los Reales son un campo, mientras que los irracionales no.
Los
Reales satisfacen el Axioma del Supremo, pero los Racionales no y los Irracionales tampoco.
El
Axioma del Supremo está estrechamente ligado con la existencia de
los números irracionales.
