Los Números Racionales son un Campo

Los números racionales son cocientes de enteros y con las operaciones de adición y multiplicación, satisfacen todos los axiomas de los reales: A1, A2, A3, A4, A5, M1, M2, M3, M4, M5 y D, con lo que se dice que son un Campo, al igual que los Reales. Inclusive satisface los Axiomas de Orden O1, O2, O3 y O4.

Así que todas los resultados que hemos demostrado para los Reales, se aplican a los Racionales. En particular las leyes de cancelación y el hecho de que toda ecuación del tipo con m, b y c racionales, tiene solución en .

Observaciones muy importantes

Como los Racionales satisfacen los Axiomas Campo y de Orden, se dice que son un Campo ordenado, al igual que los Reales.

Los Racionales difieren de los Reales en el Axioma del Supremo, cuya importancia consiste en la posibilidad de poder establecer una correspondencia biunívoca entre los Reales y los puntos de una recta. Los Racionales por sí mismos no llenan la recta, no obstante que "entre dos racionales cualesquiera hay una infinidad de ellos", como veremos en el siguiente apartado.

Los griegos, con el Teorema de Pitágoras  aplicado a un triángulo rectángulo con catetos igual a 1, descubrieron el número  que no es posible escribirlo como cociente de enteros, es decir, no es racional. A este tipo de números les llamaron inconmensurables y actualmente se les llaman Irracionales. En la siguiente sección podremos ver algunas de estas demostraciones.

Los Racionales difieren de los Naturales o los Enteros en la propiedad de los sucesores. Recuerda que en todo Natural o Entero tiene un sucesor. Esto no es así en , como podremos ver en el siguiente apartado.

Algunas proposiciones interesantes

Dando clic  Proposición 1 encontrarás la demostración de que "entre cualesquiera dos racionales, hay otro racional" .
En realidad de la proposición anterior se deduce fácilmente que "entre cualesquiera dos racionales, hay una infinidad de racionales" .

Conclusión

Los Racionales, al ser un campo satisfacen todas las propiedades algebraícas de los reales, pero la diferencia sustancial entre ambos es el Axioma del Supremo. Los Racionales no satisfacen este axioma.