Los Axiomas de Peano

Los números naturales son un conjunto que satisface los  siguientes axiomas:

conocidos como Axiomas de Peano, en honor al matemático italiano Giuseppe Peano (1858 - 1932), quien los estableciera de manera precisa.

Una observación muy importante

Los axiomas de Peano definen de manera univoca a los números Naturales, es decir, cualquier conjunto que satisfaga los Axiomas de Peano, no será otro que los Naturales.

Los aritmética en los Naturales

Entre otras cosas, éstos axiomas permiten definir su adición, considerando que el sucesor y su multiplicación como adición repetida. Así tenemos 

Los Naturales no satisfacen todos los ...

Los naturales no satisfacen todos los axiomas de los reales. Por ejemplo, puedes observar que no existe idéntico aditivo y por lo mismo no satisface el axioma A5, de la existencia de inverso aditivo. Es decir, una ecuación de la forma , no siempre tiene solución en los naturales, por ejemplo .

Conclusión

Los Naturales, son el punto de partida acostumbrado para la construcción de la aritmética y como consecuencia, para los subsecuentes sistemas numéricos. Su formulación axiomática es fundamental en la construcción de propiedades de los naturales y de otras estructuras algebraícas.