Ejemplos de límites

En muchas ocasiones el cálculo de la delta en términos de la épsilon, no es tan sencillo como en los ejemplos del apartado 2 de este tema. A continuación te explicaremos un procedimiento para aligerar esta tarea.

Un procedimiento para calcular delta.

De acuerdo con la definición de límite: Dada se trata de encontrar tal que si , entonces .

El procedimiento:

• 1) Escribir
• 2) Acotar g(x), es decir, encontrar M, tal que: . ( Es probable que para acotar g(x), sea necesario trabajar en una vecindad particular de a, de radio ).
• 3) Encontrar de tal manera que si , entonces . (Es claro que: )
• 4) Así se tendría que: .
• 5) Entonces tenemos que: cuando se tome .
• Observación: Si en 2) no requieres para acotar a g(x), entonces basta tomar o una menor.

Un par de ejemplos usando el procedimiento

Ejemplo 1. Demostrar que:
Demostración:
Sea arbitrario. Queremos tal que
Apliquemos el procedimiento:
1) Escribimos:
2) Sabemos que: (no requerimos un puesto que de por sí la función seno está acotada).
3) Así, necesitamos tal que:
4) A la vista tenemos que basta tomar .

Ejemplo 2. Demostrar que:
Demostración:
Sea arbitrario. Queremos tal que
Apliquemos el procedimiento:
1) Escribimos:
2) Tomando tenemos:
3) Para que:
4) Así tendríamos:
5) Entonces:

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