Noción intuitiva de límite

En este apartado encontrarás una introducción un tanto intuitiva al concepto de límite de una función en un punto.
Es importante que consideres, que cuando se habla del concepto de límite, se tienen en juego los siguientes elementos:

• Un punto a sobre el eje de las x.
• Un punto L sobre el eje de las y.
• Y una función f con valores reales de variable real, que puede o no estar definida en a. Es decir, que pueda que exista o no f(a).

Y con tales elementos se formula la pregunta:

¿Todos los valores x, "cerca" de a, tienen sus imágenes f(x) "cerca" de L?

Si es así, intuimos que L es límite de f en a, pero en caso contrario decimos que L no es límite de f en a.

¿Cuál sería el caso contrario?

Que existiera una x "cerca" de a, cuya imagen f(x) quedara "lejos" de L.

Por ejemplo, un caso en el cual L no es límite de f en a.

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Por ejemplo, un caso en el cual L sí es límite de f en a

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Observaciones

En esta visión intuitiva, se tiene un problema: las nociones "cerca de" o "lejos de", no son tan precisas como lo requiere una definición matemáticamente correcta.

• Baste recordar propiedades como que "Entre dos reales existe una infinidad de ellos".
• O también que entre dos intervalos cerrados de diferente longitud se puede establecer una biyección.
• Es decir, que la cardinalidad de los conjuntos de reales en cada uno de ellos, es la misma.

Por lo anterior, para definir adecuadamente el concepto de límite de una función en un punto, tendremos que recurrir a conceptos ya definidos anteriormente como son los intervalos abiertos con centro en un punto, llamadas comúnmente vecindades alrededor de dicho punto.

La cercanía de valores a un punto, se puede referir a que tales valores se encuentren en una vecindad del punto, del radio arbitrario. Es decir no se trata de una distancia particular para definir si se está cerca o no de un punto, más bien se trata de un proceso de acercamiento que no se detiene.

Por último, en el caso del concepto de límite, tendríamos que relacionar dos tipos de vecindades, las que se toman arbitrarias alrededor del punto L y las que se encuentran alrededor de punto a.

Conclusiones

Tratando de redondear las ideas anteriores, para hacer ver que L es límite de f en a, tendríamos que hacer lo siguiente:

• Como queremos cercanía al punto L, habría que dar una vecindad U, alrededor de L, de radio arbitrario.
• A partir de U, encontrar una vecindad V alrededor de a, de tal manera que las x en V, tengan sus imágenes en la vecindad U alrededor de L.
• Y esto deberíamos poderlo hacer para cada vecindad U, con excepción del valor de f en a, de la cual no sabemos si exista o no y que por demás no importa. En realidad nos interesan los valores "cerca" de a.

Es importante desde luego usar una notación adecuada. Es decir,

• Una vecindad alrededor de L, de radio arbitrario, se puede representar como
• Una vecindad de radio que no considere el punto a, se puede representar por
• Y así poder decir que L es límite de f en a, si para cada vecindad  existe una vecindad , tal que: se cumpla que: . Se agrega que x sea elemento del dominio de la función para garantizar la existencia de f(x).

Sugerencia

La definición formal, que verás en la siguiente sección, se acostumbra formularla con vecindades expresadas en términos del valor absoluto. Por ello, te sugerimos estudiar detenidamente la sección de Conceptos previos.

Mientras tanto puedes analizar las siguientes construcciones interactivas.

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