Razones de cambio relacionadas

Cuando tenemos dos cantidades relacionadas que varían con respecto a una misma variable y deseamos obtener la razón de cambio de una de ellas, respecto a la otra, decimos que tenemos razones de cambio relacionadas.

Por ejemplo:

• Si el radio de una esfera varía respecto al tiempo, entonces el volumen de la esfera también cambia respecto al tiempo. Sería deseable conocer la razón de cambio del volúmen respecto al radio.
  
• Si la velocidad de una partícula cambia respecto al tiempo, también cambia su energía cinética respecto al tiempo. Es importante saber cómo cambia la energía cinética respecto a la velocidad.
  
• Dos móviles que viajan a cierta velocidad en diferentes direcciones, se alejan uno del otro. Sería deseable saber la razón de cambio de la distancia entre uno y otro.
  
• En un fenómeno sísmico, a partir del epicentro se producen ondan circulares concéntricas que van creciendo en su radio respecto al tiempo. Sería deseable poder calcular la razón de cambio del área de afectación respecto al radio.

En fín, si y = y(u) y x=x(u) y, existe una relación entre x e y, es deseable obtener la razón de cambio de y respecto de x o viceversa.

Objetivo

Resolver problemas donde se tengan razones de cambio relacionadas.

Conceptos previos

Es importante recordar que:

• La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en .


• Además es la razón de cambio de en .


• Si depende del tiempo, entonces , significa la velocidad instantánea de en .

Ejemplos

En los ejemplos siguientes, se resuelven problemas de razones de cambio relacionadas.

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Ejercicios interactivos

En los ejercicios siguientes, se plantea un fenómeno sísmico con datos que pueden no estar apegados a la realidad, pero que permiten, ilustrar un problema de tal naturaleza. Recuerda que debes tomar lápiz y papel para intentar resolverlo. Si deseas probar tus conocimientos, da clic en la siguiente imagen.