Antes de establecer la definición,
diremos que una condición indispensable para decir si una función
es continua en un punto a, es que tal punto pertenezca
a su dominio. De otra manera no tendría sentido. Así,
Observaciones
En esta definición se puede observar que a diferencia de la definición de límite:
En este caso el punto a debe ser elemento del dominio de la función. Aquí sí importa lo que ocurra en a.
Por lo anterior en la vecindad de a de radio delta, no se pide que |x - a| sea mayor que cero. En este caso, x puede tomar el valor de a.
En lugar de L, en este caso tenemos f(a). Es decir, para cada vecindad de radio épsilon de f(a), se busca una vecindad de radio delta de a, tal que para las x dentro de dicha vecindad, las f(x) queden dentro de la vecindad de radio épsilon de f(a).
Una observación especial
En la definición de continuidad no se exige que a, sea punto de acumulación del dominio de la función. Pero si este fuera el caso, entonces la definición se podría expresar del siguiente modo:
En realidad este es el caso de continuidad que importará estudiar en este curso. Será de mucho interés garantizar que en cualquier vecindad de radio delta de a, existan elementos del dominio de la función.
