Idea y Método de la Demostración
La idea es hacer ver que (-1)a es inverso aditivo de a y, dado que por el teorema 4, sólo existe un inverso aditivo de a, entonces: (-1)a = -a.

Para hacer ver que (-1)a es inverso aditivo de a, basta demostrar que a + (-1)a = 0. Por ello, se trata de iniciar en  a + (-1)a y mediante una cadena de igualdades llegar a 0, utilizando el llamado Método Directo..

Para construir
Para construir tal cadena de igualdades se deben utilizar exclusivamente los axiomas de los reales, las hipótesis del teorema, teoremas o resultados anteriores y, desde luego, propiedades conocidas de la igualdad, en este caso la transitividad: Si x = w y w = z, entonces x = z.

En particular se hace uso del Teorema 4 que establece:

y del Teorema 7 que establece:

Conclusión
Este teorema es de gran importancia para demostrar las leyes de los signos.